Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120978 / 120098
↖ ↑ ↗
← S 81.634948°
E152.276001°		 ← 44.43 m → S 81.634948°
E152.278748°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.635348°
E152.276001°		 ← 44.43 m →
1 973 m²		 S 81.635348°
E152.278748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922992706298828 y=0.916278839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922992706298828 × 217)
    floor (0.922992706298828 × 131072)
    floor (120978.5)     		tx = 120978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916278839111328 × 217)
    floor (0.916278839111328 × 131072)
    floor (120098.5)     		ty = 120098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120978 / 120098 ti = "17/120978/120098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120978/120098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120978 ÷ 217
    120978 ÷ 131072     		x = 0.922988891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120098 ÷ 217
    120098 ÷ 131072     		y = 0.916275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922988891601562 × 2 - 1) × π
    0.845977783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65771759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916275024414062 × 2 - 1) × π
    -0.832550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6155331170695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65771759} λ = 2.65771759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6155331170695))-π/2
    2×atan(0.0731287920946911)-π/2
    2×0.0729988489102315-π/2
    0.145997697820463-1.57079632675     		φ = -1.42479863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65771759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.276001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42479863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.634948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120978 KachelY 120098 2.65771759 -1.42479863 152.276001 -81.634948
    Oben rechts KachelX + 1 120979 KachelY 120098 2.65776553 -1.42479863 152.278748 -81.634948
    Unten links KachelX 120978 KachelY + 1 120099 2.65771759 -1.42480560 152.276001 -81.635348
    Unten rechts KachelX + 1 120979 KachelY + 1 120099 2.65776553 -1.42480560 152.278748 -81.635348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42479863--1.42480560) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42479863--1.42480560) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65771759-2.65776553) × cos(-1.42479863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145479584503769 × 6371000     		do = 44.4332097519272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65771759-2.65776553) × cos(-1.42480560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145472688652297 × 6371000     		du = 44.4311035813882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42479863)-sin(-1.42480560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145479584503769-0.145472688652297)×R²
    abs(2.65776553-2.65771759)×6.89585147264915e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89585147264915e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89585147264915e-06×40589641000000     		ar = 1973.04857290857m²