Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120974 / 120095
↖ ↑ ↗
← S 81.633750°
E152.265015°		 ← 44.44 m → S 81.633750°
E152.267761°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.634149°
E152.265015°		 ← 44.44 m →
1 973 m²		 S 81.634149°
E152.267761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922962188720703 y=0.916255950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922962188720703 × 217)
    floor (0.922962188720703 × 131072)
    floor (120974.5)     		tx = 120974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916255950927734 × 217)
    floor (0.916255950927734 × 131072)
    floor (120095.5)     		ty = 120095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120974 / 120095 ti = "17/120974/120095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120974/120095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120974 ÷ 217
    120974 ÷ 131072     		x = 0.922958374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120095 ÷ 217
    120095 ÷ 131072     		y = 0.916252136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922958374023438 × 2 - 1) × π
    0.845916748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65752584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916252136230469 × 2 - 1) × π
    -0.832504272460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.61538930637064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65752584} λ = 2.65752584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61538930637064))-π/2
    2×atan(0.0731393095536324)-π/2
    2×0.07300931041488-π/2
    0.14601862082976-1.57079632675     		φ = -1.42477771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65752584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.265015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42477771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.633750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120974 KachelY 120095 2.65752584 -1.42477771 152.265015 -81.633750
    Oben rechts KachelX + 1 120975 KachelY 120095 2.65757378 -1.42477771 152.267761 -81.633750
    Unten links KachelX 120974 KachelY + 1 120096 2.65752584 -1.42478468 152.265015 -81.634149
    Unten rechts KachelX + 1 120975 KachelY + 1 120096 2.65757378 -1.42478468 152.267761 -81.634149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42477771--1.42478468) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dl = 44.4058699989074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42477771--1.42478468) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dr = 44.4058699989074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65752584-2.65757378) × cos(-1.42477771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145500281909363 × 6371000     		do = 44.4395312723466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65752584-2.65757378) × cos(-1.42478468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145493386079104 × 6371000     		du = 44.4374251082869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42477771)-sin(-1.42478468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145500281909363-0.145493386079104)×R²
    abs(2.65757378-2.65752584)×6.89583025867413e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89583025867413e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89583025867413e-06×40589641000000     		ar = 1973.32928556054m²