Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120973 / 120093
↖ ↑ ↗
← S 81.632950°
E152.262268°		 ← 44.44 m → S 81.632950°
E152.265015°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.633350°
E152.262268°		 ← 44.44 m →
1 974 m²		 S 81.633350°
E152.265015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922954559326172 y=0.916240692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922954559326172 × 217)
    floor (0.922954559326172 × 131072)
    floor (120973.5)     		tx = 120973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916240692138672 × 217)
    floor (0.916240692138672 × 131072)
    floor (120093.5)     		ty = 120093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120973 / 120093 ti = "17/120973/120093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120973/120093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120973 ÷ 217
    120973 ÷ 131072     		x = 0.922950744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120093 ÷ 217
    120093 ÷ 131072     		y = 0.916236877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922950744628906 × 2 - 1) × π
    0.845901489257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.65747790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916236877441406 × 2 - 1) × π
    -0.832473754882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.6152934325714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65747790} λ = 2.65747790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6152934325714))-π/2
    2×atan(0.0731463220332643)-π/2
    2×0.0730162855782839-π/2
    0.146032571156568-1.57079632675     		φ = -1.42476376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65747790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.262268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42476376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.632950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120973 KachelY 120093 2.65747790 -1.42476376 152.262268 -81.632950
    Oben rechts KachelX + 1 120974 KachelY 120093 2.65752584 -1.42476376 152.265015 -81.632950
    Unten links KachelX 120973 KachelY + 1 120094 2.65747790 -1.42477073 152.262268 -81.633350
    Unten rechts KachelX + 1 120974 KachelY + 1 120094 2.65752584 -1.42477073 152.265015 -81.633350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42476376--1.42477073) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42476376--1.42477073) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65747790-2.65752584) × cos(-1.42476376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145514083442236 × 6371000     		do = 44.4437466157376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65747790-2.65752584) × cos(-1.42477073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145507187626125 × 6371000     		du = 44.4416404559989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42476376)-sin(-1.42477073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145514083442236-0.145507187626125)×R²
    abs(2.65752584-2.65747790)×6.89581611135193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89581611135193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89581611135193e-06×40589641000000     		ar = 1973.51647161564m²