Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12097 / 20764
↖ ↑ ↗
← S 43.293200°
W 47.098388°		 ← 889.13 m → S 43.293200°
W 47.087403°		 →
↑
889.07 m
↓
↑
889.07 m
↓
S 43.301196°
W 47.098388°		 ← 889.01 m →
790 449 m²		 S 43.301196°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369186401367188 y=0.633682250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369186401367188 × 215)
    floor (0.369186401367188 × 32768)
    floor (12097.5)     		tx = 12097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633682250976562 × 215)
    floor (0.633682250976562 × 32768)
    floor (20764.5)     		ty = 20764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12097 / 20764 ti = "15/12097/20764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12097/20764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12097 ÷ 215
    12097 ÷ 32768     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20764 ÷ 215
    20764 ÷ 32768     		y = 0.6336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839854481343384))-π/2
    2×atan(0.4317733499356)-π/2
    2×0.407593718805097-π/2
    0.815187437610194-1.57079632675     		φ = -0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12097 KachelY 20764 -0.82202195 -0.75560889 -47.098388 -43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 12098 KachelY 20764 -0.82183021 -0.75560889 -47.087403 -43.293200
    Unten links KachelX 12097 KachelY + 1 20765 -0.82202195 -0.75574844 -47.098388 -43.301196
    Unten rechts KachelX + 1 12098 KachelY + 1 20765 -0.82183021 -0.75574844 -47.087403 -43.301196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75560889--0.75574844) × R
    0.000139549999999988 × 6371000     		dl = 889.073049999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75560889--0.75574844) × R
    0.000139549999999988 × 6371000     		dr = 889.073049999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(-0.75560889) × R
    0.000191739999999996 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 889.128817518396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(-0.75574844) × R
    0.000191739999999996 × 0.727758441804231 × 6371000     		du = 889.011911536543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75560889)-sin(-0.75574844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727758441804231)×R²
    abs(-0.82183021--0.82202195)×9.57009845281576e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57009845281576e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57009845281576e-05×40589641000000     		ar = 790448.501938571m²