Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12097 / 20543
↖ ↑ ↗
← S 41.500350°
W 47.098388°		 ← 914.90 m → S 41.500350°
W 47.087403°		 →
↑
914.88 m
↓
↑
914.88 m
↓
S 41.508577°
W 47.098388°		 ← 914.78 m →
836 967 m²		 S 41.508577°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369186401367188 y=0.626937866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369186401367188 × 215)
    floor (0.369186401367188 × 32768)
    floor (12097.5)     		tx = 12097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626937866210938 × 215)
    floor (0.626937866210938 × 32768)
    floor (20543.5)     		ty = 20543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12097 / 20543 ti = "15/12097/20543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12097/20543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12097 ÷ 215
    12097 ÷ 32768     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20543 ÷ 215
    20543 ÷ 32768     		y = 0.626922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.25384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.797478262079254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797478262079254))-π/2
    2×atan(0.450463483884469)-π/2
    2×0.423239292857644-π/2
    0.846478585715287-1.57079632675     		φ = -0.72431774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72431774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.500350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12097 KachelY 20543 -0.82202195 -0.72431774 -47.098388 -41.500350
    Oben rechts KachelX + 1 12098 KachelY 20543 -0.82183021 -0.72431774 -47.087403 -41.500350
    Unten links KachelX 12097 KachelY + 1 20544 -0.82202195 -0.72446134 -47.098388 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 12098 KachelY + 1 20544 -0.82183021 -0.72446134 -47.087403 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72431774--0.72446134) × R
    0.00014359999999991 × 6371000     		dl = 914.87559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72431774--0.72446134) × R
    0.00014359999999991 × 6371000     		dr = 914.87559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(-0.72431774) × R
    0.000191739999999996 × 0.748951678512912 × 6371000     		do = 914.901051113297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(-0.72446134) × R
    0.000191739999999996 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 914.784805231508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72431774)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748951678512912-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.82183021--0.82202195)×9.51606167469699e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51606167469699e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51606167469699e-05×40589641000000     		ar = 836967.474255564m²