Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12097 / 14638
↖ ↑ ↗
← N 18.833515°
W 47.098388°		 ← 1 156.17 m → N 18.833515°
W 47.087403°		 →
↑
1 156.21 m
↓
↑
1 156.21 m
↓
N 18.823117°
W 47.098388°		 ← 1 156.24 m →
1 336 819 m²		 N 18.823117°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369186401367188 y=0.446731567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369186401367188 × 215)
    floor (0.369186401367188 × 32768)
    floor (12097.5)     		tx = 12097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446731567382812 × 215)
    floor (0.446731567382812 × 32768)
    floor (14638.5)     		ty = 14638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12097 / 14638 ti = "15/12097/14638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12097/14638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12097 ÷ 215
    12097 ÷ 32768     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14638 ÷ 215
    14638 ÷ 32768     		y = 0.44671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44671630859375 × 2 - 1) × π
    0.1065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.334791306946472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334791306946472))-π/2
    2×atan(1.39764867521481)-π/2
    2×0.949751590089325-π/2
    1.89950318017865-1.57079632675     		φ = 0.32870685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32870685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.833515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12097 KachelY 14638 -0.82202195 0.32870685 -47.098388 18.833515
    Oben rechts KachelX + 1 12098 KachelY 14638 -0.82183021 0.32870685 -47.087403 18.833515
    Unten links KachelX 12097 KachelY + 1 14639 -0.82202195 0.32852537 -47.098388 18.823117
    Unten rechts KachelX + 1 12098 KachelY + 1 14639 -0.82183021 0.32852537 -47.087403 18.823117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32870685-0.32852537) × R
    0.000181480000000012 × 6371000     		dl = 1156.20908000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32870685-0.32852537) × R
    0.000181480000000012 × 6371000     		dr = 1156.20908000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.32870685) × R
    0.000191739999999996 × 0.946460588650409 × 6371000     		do = 1156.17310466932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.32852537) × R
    0.000191739999999996 × 0.946519158325905 × 6371000     		du = 1156.24465195229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32870685)-sin(0.32852537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946460588650409-0.946519158325905)×R²
    abs(-0.82183021--0.82202195)×5.85696754956677e-05×R²
    0.000191739999999996×5.85696754956677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.85696754956677e-05×40589641000000     		ar = 1336819.20714838m²