Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12097 / 14145
↖ ↑ ↗
← N 23.875792°
W 47.098388°		 ← 1 117.04 m → N 23.875792°
W 47.087403°		 →
↑
1 117.15 m
↓
↑
1 117.15 m
↓
N 23.865745°
W 47.098388°		 ← 1 117.13 m →
1 247 954 m²		 N 23.865745°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369186401367188 y=0.431686401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369186401367188 × 215)
    floor (0.369186401367188 × 32768)
    floor (12097.5)     		tx = 12097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431686401367188 × 215)
    floor (0.431686401367188 × 32768)
    floor (14145.5)     		ty = 14145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12097 / 14145 ti = "15/12097/14145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12097/14145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12097 ÷ 215
    12097 ÷ 32768     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14145 ÷ 215
    14145 ÷ 32768     		y = 0.431671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429322872997223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429322872997223))-π/2
    2×atan(1.53621695730637)-π/2
    2×0.993753753620342-π/2
    1.98750750724068-1.57079632675     		φ = 0.41671118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41671118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.875792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12097 KachelY 14145 -0.82202195 0.41671118 -47.098388 23.875792
    Oben rechts KachelX + 1 12098 KachelY 14145 -0.82183021 0.41671118 -47.087403 23.875792
    Unten links KachelX 12097 KachelY + 1 14146 -0.82202195 0.41653583 -47.098388 23.865745
    Unten rechts KachelX + 1 12098 KachelY + 1 14146 -0.82183021 0.41653583 -47.087403 23.865745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41671118-0.41653583) × R
    0.000175350000000019 × 6371000     		dl = 1117.15485000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41671118-0.41653583) × R
    0.000175350000000019 × 6371000     		dr = 1117.15485000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.41671118) × R
    0.000191739999999996 × 0.914425050493608 × 6371000     		do = 1117.03927484623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.41653583) × R
    0.000191739999999996 × 0.914496010271302 × 6371000     		du = 1117.12595757499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41671118)-sin(0.41653583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914425050493608-0.914496010271302)×R²
    abs(-0.82183021--0.82202195)×7.09597776941129e-05×R²
    0.000191739999999996×7.09597776941129e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.09597776941129e-05×40589641000000     		ar = 1247954.26574811m²