Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12097 / 14034
↖ ↑ ↗
← N 24.986058°
W 47.098388°		 ← 1 107.25 m → N 24.986058°
W 47.087403°		 →
↑
1 107.34 m
↓
↑
1 107.34 m
↓
N 24.976099°
W 47.098388°		 ← 1 107.34 m →
1 226 155 m²		 N 24.976099°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369186401367188 y=0.428298950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369186401367188 × 215)
    floor (0.369186401367188 × 32768)
    floor (12097.5)     		tx = 12097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428298950195312 × 215)
    floor (0.428298950195312 × 32768)
    floor (14034.5)     		ty = 14034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12097 / 14034 ti = "15/12097/14034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12097/14034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12097 ÷ 215
    12097 ÷ 32768     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14034 ÷ 215
    14034 ÷ 32768     		y = 0.42828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42828369140625 × 2 - 1) × π
    0.1434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450606856428528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450606856428528))-π/2
    2×atan(1.56926421466517)-π/2
    2×1.00344265317347-π/2
    2.00688530634694-1.57079632675     		φ = 0.43608898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43608898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.986058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12097 KachelY 14034 -0.82202195 0.43608898 -47.098388 24.986058
    Oben rechts KachelX + 1 12098 KachelY 14034 -0.82183021 0.43608898 -47.087403 24.986058
    Unten links KachelX 12097 KachelY + 1 14035 -0.82202195 0.43591517 -47.098388 24.976099
    Unten rechts KachelX + 1 12098 KachelY + 1 14035 -0.82183021 0.43591517 -47.087403 24.976099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43608898-0.43591517) × R
    0.000173809999999996 × 6371000     		dl = 1107.34350999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43608898-0.43591517) × R
    0.000173809999999996 × 6371000     		dr = 1107.34350999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.43608898) × R
    0.000191739999999996 × 0.906410597172849 × 6371000     		do = 1107.24901470312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82183021) × cos(0.43591517) × R
    0.000191739999999996 × 0.906484000427966 × 6371000     		du = 1107.33868232413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43608898)-sin(0.43591517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906410597172849-0.906484000427966)×R²
    abs(-0.82183021--0.82202195)×7.34032551178432e-05×R²
    0.000191739999999996×7.34032551178432e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.34032551178432e-05×40589641000000     		ar = 1226154.65990108m²