Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120967 / 119943
↖ ↑ ↗
← S 81.572786°
E152.245788°		 ← 44.76 m → S 81.572786°
E152.248535°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.573189°
E152.245788°		 ← 44.76 m →
2 005 m²		 S 81.573189°
E152.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922908782958984 y=0.915096282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922908782958984 × 217)
    floor (0.922908782958984 × 131072)
    floor (120967.5)     		tx = 120967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915096282958984 × 217)
    floor (0.915096282958984 × 131072)
    floor (119943.5)     		ty = 119943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120967 / 119943 ti = "17/120967/119943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120967/119943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120967 ÷ 217
    120967 ÷ 131072     		x = 0.922904968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119943 ÷ 217
    119943 ÷ 131072     		y = 0.915092468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922904968261719 × 2 - 1) × π
    0.845809936523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.65719028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915092468261719 × 2 - 1) × π
    -0.830184936523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.6081028976284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65719028} λ = 2.65719028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6081028976284))-π/2
    2×atan(0.073674178729459)-π/2
    2×0.0735413128564931-π/2
    0.147082625712986-1.57079632675     		φ = -1.42371370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65719028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.245788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42371370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.572786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120967 KachelY 119943 2.65719028 -1.42371370 152.245788 -81.572786
    Oben rechts KachelX + 1 120968 KachelY 119943 2.65723822 -1.42371370 152.248535 -81.572786
    Unten links KachelX 120967 KachelY + 1 119944 2.65719028 -1.42372073 152.245788 -81.573189
    Unten rechts KachelX + 1 120968 KachelY + 1 119944 2.65723822 -1.42372073 152.248535 -81.573189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42371370--1.42372073) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42371370--1.42372073) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65719028-2.65723822) × cos(-1.42371370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146552886378219 × 6371000     		do = 44.761023771174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65719028-2.65723822) × cos(-1.42372073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146545932278657 × 6371000     		du = 44.7588998101695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42371370)-sin(-1.42372073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146552886378219-0.146545932278657)×R²
    abs(2.65723822-2.65719028)×6.95409956119608e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.95409956119608e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.95409956119608e-06×40589641000000     		ar = 2004.71498740749m²