Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120960 / 28032
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
E152.226562°		 ← 98.49 m → N 71.187754°
E152.229309°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
N 71.186868°
E152.226562°		 ← 98.49 m →
9 701 m²		 N 71.186868°
E152.229309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922855377197266 y=0.213871002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922855377197266 × 217)
    floor (0.922855377197266 × 131072)
    floor (120960.5)     		tx = 120960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213871002197266 × 217)
    floor (0.213871002197266 × 131072)
    floor (28032.5)     		ty = 28032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120960 / 28032 ti = "17/120960/28032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120960/28032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120960 ÷ 217
    120960 ÷ 131072     		x = 0.9228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28032 ÷ 217
    28032 ÷ 131072     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9228515625 × 2 - 1) × π
    0.845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65685472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65685472} λ = 2.65685472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65685472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120960 KachelY 28032 2.65685472 1.24246069 152.226562 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 120961 KachelY 28032 2.65690266 1.24246069 152.229309 71.187754
    Unten links KachelX 120960 KachelY + 1 28033 2.65685472 1.24244523 152.226562 71.186868
    Unten rechts KachelX + 1 120961 KachelY + 1 28033 2.65690266 1.24244523 152.229309 71.186868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24244523) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24244523) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65685472-2.65690266) × cos(1.24246069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 98.4900343184032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65685472-2.65690266) × cos(1.24244523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322482656332096 × 6371000     		du = 98.4945039473316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24244523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.322482656332096)×R²
    abs(2.65690266-2.65685472)×1.46340938012024e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46340938012024e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46340938012024e-05×40589641000000     		ar = 9701.06105343253m²