Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12096 / 14144
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
W 47.109375°		 ← 1 117.01 m → N 23.885838°
W 47.098388°		 →
↑
1 117.03 m
↓
↑
1 117.03 m
↓
N 23.875792°
W 47.109375°		 ← 1 117.10 m →
1 247 780 m²		 N 23.875792°
W 47.098388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369155883789062 y=0.431655883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369155883789062 × 215)
    floor (0.369155883789062 × 32768)
    floor (12096.5)     		tx = 12096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431655883789062 × 215)
    floor (0.431655883789062 × 32768)
    floor (14144.5)     		ty = 14144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12096 / 14144 ti = "15/12096/14144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12096/14144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12096 ÷ 215
    12096 ÷ 32768     		x = 0.369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14144 ÷ 215
    14144 ÷ 32768     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369140625 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82221370} λ = -0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12096 KachelY 14144 -0.82221370 0.41688651 -47.109375 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 12097 KachelY 14144 -0.82202195 0.41688651 -47.098388 23.885838
    Unten links KachelX 12096 KachelY + 1 14145 -0.82221370 0.41671118 -47.109375 23.875792
    Unten rechts KachelX + 1 12097 KachelY + 1 14145 -0.82202195 0.41671118 -47.098388 23.875792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41671118) × R
    0.000175329999999974 × 6371000     		dl = 1117.02742999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41671118) × R
    0.000175329999999974 × 6371000     		dr = 1117.02742999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82221370--0.82202195) × cos(0.41688651) × R
    0.000191750000000046 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 1117.01082116201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82221370--0.82202195) × cos(0.41671118) × R
    0.000191750000000046 × 0.914425050493608 × 6371000     		du = 1117.09753286649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41671118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.914425050493608)×R²
    abs(-0.82202195--0.82221370)×7.09797957784142e-05×R²
    0.000191750000000046×7.09797957784142e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.09797957784142e-05×40589641000000     		ar = 1247780.15971701m²