Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12095 / 20766
↖ ↑ ↗
← S 43.309191°
W 47.120361°		 ← 888.94 m → S 43.309191°
W 47.109375°		 →
↑
888.88 m
↓
↑
888.88 m
↓
S 43.317185°
W 47.120361°		 ← 888.82 m →
790 112 m²		 S 43.317185°
W 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369125366210938 y=0.633743286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369125366210938 × 215)
    floor (0.369125366210938 × 32768)
    floor (12095.5)     		tx = 12095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633743286132812 × 215)
    floor (0.633743286132812 × 32768)
    floor (20766.5)     		ty = 20766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12095 / 20766 ti = "15/12095/20766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12095/20766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12095 ÷ 215
    12095 ÷ 32768     		x = 0.369110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20766 ÷ 215
    20766 ÷ 32768     		y = 0.63372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.26177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82240545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.2674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.840237976540344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82240545} λ = -0.82240545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840237976540344))-π/2
    2×atan(0.431607798675809)-π/2
    2×0.407454172872223-π/2
    0.814908345744446-1.57079632675     		φ = -0.75588798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82240545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.120361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75588798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.309191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12095 KachelY 20766 -0.82240545 -0.75588798 -47.120361 -43.309191
    Oben rechts KachelX + 1 12096 KachelY 20766 -0.82221370 -0.75588798 -47.109375 -43.309191
    Unten links KachelX 12095 KachelY + 1 20767 -0.82240545 -0.75602750 -47.120361 -43.317185
    Unten rechts KachelX + 1 12096 KachelY + 1 20767 -0.82221370 -0.75602750 -47.109375 -43.317185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75588798--0.75602750) × R
    0.000139519999999949 × 6371000     		dl = 888.881919999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75588798--0.75602750) × R
    0.000139519999999949 × 6371000     		dr = 888.881919999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(-0.75588798) × R
    0.000191749999999935 × 0.727662733506539 × 6371000     		do = 888.941356013577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(-0.75602750) × R
    0.000191749999999935 × 0.727567024760958 × 6371000     		du = 888.824434453407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75588798)-sin(-0.75602750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727662733506539-0.727567024760958)×R²
    abs(-0.82221370--0.82240545)×9.57087455807359e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57087455807359e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57087455807359e-05×40589641000000     		ar = 790111.935851342m²