Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12095 / 15040
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
W 47.120361°		 ← 1 182.17 m → N 14.604847°
W 47.109375°		 →
↑
1 182.20 m
↓
↑
1 182.20 m
↓
N 14.594215°
W 47.120361°		 ← 1 182.22 m →
1 397 593 m²		 N 14.594215°
W 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369125366210938 y=0.458999633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369125366210938 × 215)
    floor (0.369125366210938 × 32768)
    floor (12095.5)     		tx = 12095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458999633789062 × 215)
    floor (0.458999633789062 × 32768)
    floor (15040.5)     		ty = 15040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12095 / 15040 ti = "15/12095/15040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12095/15040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12095 ÷ 215
    12095 ÷ 32768     		x = 0.369110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15040 ÷ 215
    15040 ÷ 32768     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.26177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82240545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82240545} λ = -0.82240545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82240545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.120361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12095 KachelY 15040 -0.82240545 0.25490267 -47.120361 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 12096 KachelY 15040 -0.82221370 0.25490267 -47.109375 14.604847
    Unten links KachelX 12095 KachelY + 1 15041 -0.82240545 0.25471711 -47.120361 14.594215
    Unten rechts KachelX + 1 12096 KachelY + 1 15041 -0.82221370 0.25471711 -47.109375 14.594215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25471711) × R
    0.000185559999999974 × 6371000     		dl = 1182.20275999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25471711) × R
    0.000185559999999974 × 6371000     		dr = 1182.20275999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(0.25490267) × R
    0.000191749999999935 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 1182.16544971877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(0.25471711) × R
    0.000191749999999935 × 0.967734614671797 × 6371000     		du = 1182.22258886629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25471711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.967734614671797)×R²
    abs(-0.82221370--0.82240545)×4.67725210376857e-05×R²
    0.000191749999999935×4.67725210376857e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.67725210376857e-05×40589641000000     		ar = 1397593.03647308m²