Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12095 / 14031
↖ ↑ ↗
← N 25.015929°
W 47.120361°		 ← 1 107.04 m → N 25.015929°
W 47.109375°		 →
↑
1 107.02 m
↓
↑
1 107.02 m
↓
N 25.005973°
W 47.120361°		 ← 1 107.13 m →
1 225 568 m²		 N 25.005973°
W 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369125366210938 y=0.428207397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369125366210938 × 215)
    floor (0.369125366210938 × 32768)
    floor (12095.5)     		tx = 12095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428207397460938 × 215)
    floor (0.428207397460938 × 32768)
    floor (14031.5)     		ty = 14031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12095 / 14031 ti = "15/12095/14031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12095/14031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12095 ÷ 215
    12095 ÷ 32768     		x = 0.369110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14031 ÷ 215
    14031 ÷ 32768     		y = 0.428192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.26177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82240545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428192138671875 × 2 - 1) × π
    0.14361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.451182099223969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82240545} λ = -0.82240545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451182099223969))-π/2
    2×atan(1.57016718228671)-π/2
    2×1.00370332457417-π/2
    2.00740664914833-1.57079632675     		φ = 0.43661032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82240545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.120361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43661032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.015929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12095 KachelY 14031 -0.82240545 0.43661032 -47.120361 25.015929
    Oben rechts KachelX + 1 12096 KachelY 14031 -0.82221370 0.43661032 -47.109375 25.015929
    Unten links KachelX 12095 KachelY + 1 14032 -0.82240545 0.43643656 -47.120361 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 12096 KachelY + 1 14032 -0.82221370 0.43643656 -47.109375 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43661032-0.43643656) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dl = 1107.02496000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43661032-0.43643656) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dr = 1107.02496000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(0.43661032) × R
    0.000191749999999935 × 0.906190261179163 × 6371000     		do = 1107.03759102384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82240545--0.82221370) × cos(0.43643656) × R
    0.000191749999999935 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 1107.12733783073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43661032)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906190261179163-0.906263725425577)×R²
    abs(-0.82221370--0.82240545)×7.34642464141899e-05×R²
    0.000191749999999935×7.34642464141899e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.34642464141899e-05×40589641000000     		ar = 1225567.92398285m²