Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120947 / 120081
↖ ↑ ↗
← S 81.628153°
E152.190857°		 ← 44.47 m → S 81.628153°
E152.193603°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.628553°
E152.190857°		 ← 44.47 m →
1 977 m²		 S 81.628553°
E152.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922756195068359 y=0.916149139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922756195068359 × 217)
    floor (0.922756195068359 × 131072)
    floor (120947.5)     		tx = 120947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916149139404297 × 217)
    floor (0.916149139404297 × 131072)
    floor (120081.5)     		ty = 120081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120947 / 120081 ti = "17/120947/120081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120947/120081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120947 ÷ 217
    120947 ÷ 131072     		x = 0.922752380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120081 ÷ 217
    120081 ÷ 131072     		y = 0.916145324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922752380371094 × 2 - 1) × π
    0.845504760742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.65623154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916145324707031 × 2 - 1) × π
    -0.832290649414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.61471818977596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65623154} λ = 2.65623154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61471818977596))-π/2
    2×atan(0.0731884110325631)-π/2
    2×0.0730581504554836-π/2
    0.146116300910967-1.57079632675     		φ = -1.42468003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65623154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.190857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42468003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.628153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120947 KachelY 120081 2.65623154 -1.42468003 152.190857 -81.628153
    Oben rechts KachelX + 1 120948 KachelY 120081 2.65627948 -1.42468003 152.193603 -81.628153
    Unten links KachelX 120947 KachelY + 1 120082 2.65623154 -1.42468701 152.190857 -81.628553
    Unten rechts KachelX + 1 120948 KachelY + 1 120082 2.65627948 -1.42468701 152.193603 -81.628553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42468003--1.42468701) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42468003--1.42468701) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65623154-2.65627948) × cos(-1.42468003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145596921725038 × 6371000     		do = 44.4690475595627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65623154-2.65627948) × cos(-1.42468701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145590016100421 × 6371000     		du = 44.4669384040538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42468003)-sin(-1.42468701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145596921725038-0.145590016100421)×R²
    abs(2.65627948-2.65623154)×6.90562461749811e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.90562461749811e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.90562461749811e-06×40589641000000     		ar = 1977.47297153676m²