Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120926 / 29146
↖ ↑ ↗
← N 70.175790°
E152.133179°		 ← 103.58 m → N 70.175790°
E152.135925°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 70.174859°
E152.133179°		 ← 103.59 m →
10 724 m²		 N 70.174859°
E152.135925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922595977783203 y=0.222370147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922595977783203 × 217)
    floor (0.922595977783203 × 131072)
    floor (120926.5)     		tx = 120926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222370147705078 × 217)
    floor (0.222370147705078 × 131072)
    floor (29146.5)     		ty = 29146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120926 / 29146 ti = "17/120926/29146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120926/29146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120926 ÷ 217
    120926 ÷ 131072     		x = 0.922592163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29146 ÷ 217
    29146 ÷ 131072     		y = 0.222366333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922592163085938 × 2 - 1) × π
    0.845184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65522487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222366333007812 × 2 - 1) × π
    0.555267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74442377717384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65522487} λ = 2.65522487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74442377717384))-π/2
    2×atan(5.72260303070168)-π/2
    2×1.39779746066728-π/2
    2.79559492133457-1.57079632675     		φ = 1.22479859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65522487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.133179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22479859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.175790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120926 KachelY 29146 2.65522487 1.22479859 152.133179 70.175790
    Oben rechts KachelX + 1 120927 KachelY 29146 2.65527281 1.22479859 152.135925 70.175790
    Unten links KachelX 120926 KachelY + 1 29147 2.65522487 1.22478234 152.133179 70.174859
    Unten rechts KachelX + 1 120927 KachelY + 1 29147 2.65527281 1.22478234 152.135925 70.174859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22479859-1.22478234) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22479859-1.22478234) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65522487-2.65527281) × cos(1.22479859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339135454364065 × 6371000     		do = 103.580697109313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65522487-2.65527281) × cos(1.22478234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339150741304524 × 6371000     		du = 103.585366134415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22479859)-sin(1.22478234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339135454364065-0.339150741304524)×R²
    abs(2.65527281-2.65522487)×1.52869404588807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52869404588807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52869404588807e-05×40589641000000     		ar = 10723.8217851228m²