Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120920 / 29111
↖ ↑ ↗
← N 70.208365°
E152.116699°		 ← 103.42 m → N 70.208365°
E152.119446°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.207436°
E152.116699°		 ← 103.42 m →
10 694 m²		 N 70.207436°
E152.119446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922550201416016 y=0.222103118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922550201416016 × 217)
    floor (0.922550201416016 × 131072)
    floor (120920.5)     		tx = 120920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222103118896484 × 217)
    floor (0.222103118896484 × 131072)
    floor (29111.5)     		ty = 29111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120920 / 29111 ti = "17/120920/29111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120920/29111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120920 ÷ 217
    120920 ÷ 131072     		x = 0.92254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29111 ÷ 217
    29111 ÷ 131072     		y = 0.222099304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92254638671875 × 2 - 1) × π
    0.8450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65493725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222099304199219 × 2 - 1) × π
    0.555801391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.74610156866055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65493725} λ = 2.65493725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74610156866055))-π/2
    2×atan(5.73221242437362)-π/2
    2×1.39808173553419-π/2
    2.79616347106838-1.57079632675     		φ = 1.22536714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65493725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22536714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.208365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120920 KachelY 29111 2.65493725 1.22536714 152.116699 70.208365
    Oben rechts KachelX + 1 120921 KachelY 29111 2.65498519 1.22536714 152.119446 70.208365
    Unten links KachelX 120920 KachelY + 1 29112 2.65493725 1.22535091 152.116699 70.207436
    Unten rechts KachelX + 1 120921 KachelY + 1 29112 2.65498519 1.22535091 152.119446 70.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22536714-1.22535091) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22536714-1.22535091) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65493725-2.65498519) × cos(1.22536714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338600543244518 × 6371000     		do = 103.417321484791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65493725-2.65498519) × cos(1.22535091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338615814497333 × 6371000     		du = 103.421985718483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22536714)-sin(1.22535091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338600543244518-0.338615814497333)×R²
    abs(2.65498519-2.65493725)×1.52712528154186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52712528154186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52712528154186e-05×40589641000000     		ar = 10693.7297309001m²