Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120919 / 29113
↖ ↑ ↗
← N 70.206506°
E152.113953°		 ← 103.43 m → N 70.206506°
E152.116699°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.205576°
E152.113953°		 ← 103.43 m →
10 695 m²		 N 70.205576°
E152.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922542572021484 y=0.222118377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922542572021484 × 217)
    floor (0.922542572021484 × 131072)
    floor (120919.5)     		tx = 120919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222118377685547 × 217)
    floor (0.222118377685547 × 131072)
    floor (29113.5)     		ty = 29113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120919 / 29113 ti = "17/120919/29113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120919/29113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120919 ÷ 217
    120919 ÷ 131072     		x = 0.922538757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29113 ÷ 217
    29113 ÷ 131072     		y = 0.222114562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922538757324219 × 2 - 1) × π
    0.845077514648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.65488931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222114562988281 × 2 - 1) × π
    0.555770874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.74600569486131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65488931} λ = 2.65488931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74600569486131))-π/2
    2×atan(5.73166288173424)-π/2
    2×1.39806550334199-π/2
    2.79613100668397-1.57079632675     		φ = 1.22533468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65488931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.113953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22533468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.206506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120919 KachelY 29113 2.65488931 1.22533468 152.113953 70.206506
    Oben rechts KachelX + 1 120920 KachelY 29113 2.65493725 1.22533468 152.116699 70.206506
    Unten links KachelX 120919 KachelY + 1 29114 2.65488931 1.22531845 152.113953 70.205576
    Unten rechts KachelX + 1 120920 KachelY + 1 29114 2.65493725 1.22531845 152.116699 70.205576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22533468-1.22531845) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22533468-1.22531845) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65488931-2.65493725) × cos(1.22533468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338631085660953 × 6371000     		do = 103.426649924932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65488931-2.65493725) × cos(1.22531845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338646356735372 × 6371000     		du = 103.431314104137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22533468)-sin(1.22531845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338631085660953-0.338646356735372)×R²
    abs(2.65493725-2.65488931)×1.52710744198425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52710744198425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52710744198425e-05×40589641000000     		ar = 10694.6943008928m²