Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120915 / 120097
↖ ↑ ↗
← S 81.634548°
E152.102966°		 ← 44.44 m → S 81.634548°
E152.105713°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.634948°
E152.102966°		 ← 44.43 m →
1 976 m²		 S 81.634948°
E152.105713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922512054443359 y=0.916271209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922512054443359 × 217)
    floor (0.922512054443359 × 131072)
    floor (120915.5)     		tx = 120915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916271209716797 × 217)
    floor (0.916271209716797 × 131072)
    floor (120097.5)     		ty = 120097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120915 / 120097 ti = "17/120915/120097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120915/120097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120915 ÷ 217
    120915 ÷ 131072     		x = 0.922508239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120097 ÷ 217
    120097 ÷ 131072     		y = 0.916267395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922508239746094 × 2 - 1) × π
    0.845016479492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.65469756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916267395019531 × 2 - 1) × π
    -0.832534790039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.61548518016988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65469756} λ = 2.65469756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61548518016988))-π/2
    2×atan(0.0731322977462814)-π/2
    2×0.0730023359130636-π/2
    0.146004671826127-1.57079632675     		φ = -1.42479165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65469756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.102966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42479165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.634548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120915 KachelY 120097 2.65469756 -1.42479165 152.102966 -81.634548
    Oben rechts KachelX + 1 120916 KachelY 120097 2.65474550 -1.42479165 152.105713 -81.634548
    Unten links KachelX 120915 KachelY + 1 120098 2.65469756 -1.42479863 152.102966 -81.634948
    Unten rechts KachelX + 1 120916 KachelY + 1 120098 2.65474550 -1.42479863 152.105713 -81.634948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42479165--1.42479863) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42479165--1.42479863) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65469756-2.65474550) × cos(-1.42479165) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.145486490241777 × 6371000     		do = 44.43531894248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65469756-2.65474550) × cos(-1.42479863) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.145479584503769 × 6371000     		du = 44.4332097523388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42479165)-sin(-1.42479863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145486490241777-0.145479584503769)×R²
    abs(2.65474550-2.65469756)×6.90573800743444e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.90573800743444e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.90573800743444e-06×40589641000000     		ar = 1975.97307303145m²