Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120914 / 120111
↖ ↑ ↗
← S 81.640141°
E152.100220°		 ← 44.40 m → S 81.640141°
E152.102966°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.640540°
E152.100220°		 ← 44.39 m →
1 971 m²		 S 81.640540°
E152.102966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922504425048828 y=0.916378021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922504425048828 × 217)
    floor (0.922504425048828 × 131072)
    floor (120914.5)     		tx = 120914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916378021240234 × 217)
    floor (0.916378021240234 × 131072)
    floor (120111.5)     		ty = 120111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120914 / 120111 ti = "17/120914/120111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120914/120111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120914 ÷ 217
    120914 ÷ 131072     		x = 0.922500610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120111 ÷ 217
    120111 ÷ 131072     		y = 0.916374206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922500610351562 × 2 - 1) × π
    0.845001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65464963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916374206542969 × 2 - 1) × π
    -0.832748413085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.61615629676456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65464963} λ = 2.65464963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61615629676456))-π/2
    2×atan(0.0730832339132745)-π/2
    2×0.0729535329196421-π/2
    0.145907065839284-1.57079632675     		φ = -1.42488926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65464963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.100220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42488926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.640141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120914 KachelY 120111 2.65464963 -1.42488926 152.100220 -81.640141
    Oben rechts KachelX + 1 120915 KachelY 120111 2.65469756 -1.42488926 152.102966 -81.640141
    Unten links KachelX 120914 KachelY + 1 120112 2.65464963 -1.42489623 152.100220 -81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 120915 KachelY + 1 120112 2.65469756 -1.42489623 152.102966 -81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42488926--1.42489623) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42488926--1.42489623) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65464963-2.65469756) × cos(-1.42488926) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145389918095992 × 6371000     		do = 44.3965605309416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65464963-2.65469756) × cos(-1.42489623) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 44.3944547716844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42488926)-sin(-1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145389918095992-0.145383022152651)×R²
    abs(2.65469756-2.65464963)×6.89594334030152e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.89594334030152e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.89594334030152e-06×40589641000000     		ar = 1971.42114149684m²