Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120914 / 120103
↖ ↑ ↗
← S 81.636945°
E152.100220°		 ← 44.41 m → S 81.636945°
E152.102966°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.637345°
E152.100220°		 ← 44.41 m →
1 975 m²		 S 81.637345°
E152.102966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922504425048828 y=0.916316986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922504425048828 × 217)
    floor (0.922504425048828 × 131072)
    floor (120914.5)     		tx = 120914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916316986083984 × 217)
    floor (0.916316986083984 × 131072)
    floor (120103.5)     		ty = 120103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120914 / 120103 ti = "17/120914/120103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120914/120103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120914 ÷ 217
    120914 ÷ 131072     		x = 0.922500610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120103 ÷ 217
    120103 ÷ 131072     		y = 0.916313171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922500610351562 × 2 - 1) × π
    0.845001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65464963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916313171386719 × 2 - 1) × π
    -0.832626342773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.6157728015676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65464963} λ = 2.65464963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6157728015676))-π/2
    2×atan(0.0731112663572689)-π/2
    2×0.0729814163765254-π/2
    0.145962832753051-1.57079632675     		φ = -1.42483349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65464963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.100220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42483349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.636945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120914 KachelY 120103 2.65464963 -1.42483349 152.100220 -81.636945
    Oben rechts KachelX + 1 120915 KachelY 120103 2.65469756 -1.42483349 152.102966 -81.636945
    Unten links KachelX 120914 KachelY + 1 120104 2.65464963 -1.42484047 152.100220 -81.637345
    Unten rechts KachelX + 1 120915 KachelY + 1 120104 2.65469756 -1.42484047 152.102966 -81.637345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42483349--1.42484047) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42483349--1.42484047) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65464963-2.65469756) × cos(-1.42483349) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145445095282075 × 6371000     		do = 44.4134095484934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65464963-2.65469756) × cos(-1.42484047) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145438189501586 × 6371000     		du = 44.4113007853447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42483349)-sin(-1.42484047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145445095282075-0.145438189501586)×R²
    abs(2.65469756-2.65464963)×6.9057804887307e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.9057804887307e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.9057804887307e-06×40589641000000     		ar = 1974.99878115698m²