Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120912 / 120110
↖ ↑ ↗
← S 81.639742°
E152.094726°		 ← 44.41 m → S 81.639742°
E152.097473°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.640141°
E152.094726°		 ← 44.41 m →
1 972 m²		 S 81.640141°
E152.097473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922489166259766 y=0.916370391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922489166259766 × 217)
    floor (0.922489166259766 × 131072)
    floor (120912.5)     		tx = 120912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916370391845703 × 217)
    floor (0.916370391845703 × 131072)
    floor (120110.5)     		ty = 120110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120912 / 120110 ti = "17/120912/120110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120912/120110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120912 ÷ 217
    120912 ÷ 131072     		x = 0.9224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120110 ÷ 217
    120110 ÷ 131072     		y = 0.916366577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9224853515625 × 2 - 1) × π
    0.844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65455375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916366577148438 × 2 - 1) × π
    -0.832733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61610835986494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65455375} λ = 2.65455375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61610835986494))-π/2
    2×atan(0.0730867373808946)-π/2
    2×0.0729570177732125-π/2
    0.145914035546425-1.57079632675     		φ = -1.42488229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65455375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42488229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.639742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120912 KachelY 120110 2.65455375 -1.42488229 152.094726 -81.639742
    Oben rechts KachelX + 1 120913 KachelY 120110 2.65460169 -1.42488229 152.097473 -81.639742
    Unten links KachelX 120912 KachelY + 1 120111 2.65455375 -1.42488926 152.094726 -81.640141
    Unten rechts KachelX + 1 120913 KachelY + 1 120111 2.65460169 -1.42488926 152.097473 -81.640141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42488229--1.42488926) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42488229--1.42488926) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65455375-2.65460169) × cos(-1.42488229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145396814032269 × 6371000     		do = 44.4079295194189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65455375-2.65460169) × cos(-1.42488926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145389918095992 × 6371000     		du = 44.4058233229785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42488229)-sin(-1.42488926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145396814032269-0.145389918095992)×R²
    abs(2.65460169-2.65455375)×6.89593627711815e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89593627711815e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89593627711815e-06×40589641000000     		ar = 1971.92598154227m²