Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120911 / 120047
↖ ↑ ↗
← S 81.614545°
E152.091980°		 ← 44.53 m → S 81.614545°
E152.094726°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
S 81.614946°
E152.091980°		 ← 44.53 m →
1 983 m²		 S 81.614946°
E152.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922481536865234 y=0.915889739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922481536865234 × 217)
    floor (0.922481536865234 × 131072)
    floor (120911.5)     		tx = 120911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915889739990234 × 217)
    floor (0.915889739990234 × 131072)
    floor (120047.5)     		ty = 120047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120911 / 120047 ti = "17/120911/120047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120911/120047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120911 ÷ 217
    120911 ÷ 131072     		x = 0.922477722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120047 ÷ 217
    120047 ÷ 131072     		y = 0.915885925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922477722167969 × 2 - 1) × π
    0.844955444335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.65450582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915885925292969 × 2 - 1) × π
    -0.831771850585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.61308833518888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65450582} λ = 2.65450582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61308833518888))-π/2
    2×atan(0.073307794762638)-π/2
    2×0.0731768970760086-π/2
    0.146353794152017-1.57079632675     		φ = -1.42444253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65450582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.091980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42444253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.614545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120911 KachelY 120047 2.65450582 -1.42444253 152.091980 -81.614545
    Oben rechts KachelX + 1 120912 KachelY 120047 2.65455375 -1.42444253 152.094726 -81.614545
    Unten links KachelX 120911 KachelY + 1 120048 2.65450582 -1.42444952 152.091980 -81.614946
    Unten rechts KachelX + 1 120912 KachelY + 1 120048 2.65455375 -1.42444952 152.094726 -81.614946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42444253--1.42444952) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42444253--1.42444952) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65450582-2.65455375) × cos(-1.42444253) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145831886814866 × 6371000     		do = 44.5315209965451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65450582-2.65455375) × cos(-1.42444952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145824971538697 × 6371000     		du = 44.5294093337761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42444253)-sin(-1.42444952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145831886814866-0.145824971538697)×R²
    abs(2.65455375-2.65450582)×6.91527616913934e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.91527616913934e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.91527616913934e-06×40589641000000     		ar = 1983.08811903022m²