Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120908 / 120156
↖ ↑ ↗
← S 81.658092°
E152.083740°		 ← 44.30 m → S 81.658092°
E152.086487°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
S 81.658490°
E152.083740°		 ← 44.30 m →
1 962 m²		 S 81.658490°
E152.086487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922458648681641 y=0.916721343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922458648681641 × 217)
    floor (0.922458648681641 × 131072)
    floor (120908.5)     		tx = 120908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916721343994141 × 217)
    floor (0.916721343994141 × 131072)
    floor (120156.5)     		ty = 120156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120908 / 120156 ti = "17/120908/120156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120908/120156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120908 ÷ 217
    120908 ÷ 131072     		x = 0.922454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120156 ÷ 217
    120156 ÷ 131072     		y = 0.916717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922454833984375 × 2 - 1) × π
    0.84490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65436201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.83343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65436201} λ = 2.65436201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61831345724747))-π/2
    2×atan(0.0729257515675288)-π/2
    2×0.0727968854513264-π/2
    0.145593770902653-1.57079632675     		φ = -1.42520256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65436201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42520256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.658092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120908 KachelY 120156 2.65436201 -1.42520256 152.083740 -81.658092
    Oben rechts KachelX + 1 120909 KachelY 120156 2.65440994 -1.42520256 152.086487 -81.658092
    Unten links KachelX 120908 KachelY + 1 120157 2.65436201 -1.42520951 152.083740 -81.658490
    Unten rechts KachelX + 1 120909 KachelY + 1 120157 2.65440994 -1.42520951 152.086487 -81.658490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42520256--1.42520951) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42520256--1.42520951) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65436201-2.65440994) × cos(-1.42520256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		do = 44.3019049770285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65436201-2.65440994) × cos(-1.42520951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145073063483148 × 6371000     		du = 44.2998051635599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42520256)-sin(-1.42520951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145079939955211-0.145073063483148)×R²
    abs(2.65440994-2.65436201)×6.87647206343289e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.87647206343289e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.87647206343289e-06×40589641000000     		ar = 1961.57319613334m²