Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1209 / 923
↖ ↑ ↗
← N 17.476432°
E 32.519531°		 ← 18.644 km → N 17.476432°
E 32.695312°		 →
↑
18.652 km
↓
↑
18.652 km
↓
N 17.308688°
E 32.519531°		 ← 18.661 km →
347.909 km²		 N 17.308688°
E 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590576171875 y=0.450927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590576171875 × 211)
    floor (0.590576171875 × 2048)
    floor (1209.5)     		tx = 1209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450927734375 × 211)
    floor (0.450927734375 × 2048)
    floor (923.5)     		ty = 923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1209 / 923 ti = "11/1209/923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1209/923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1209 ÷ 211
    1209 ÷ 2048     		x = 0.59033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 923 ÷ 211
    923 ÷ 2048     		y = 0.45068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    0.1806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56757289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309864119144043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56757289} λ = 0.56757289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309864119144043))-π/2
    2×atan(1.36323986334694)-π/2
    2×0.937908805064529-π/2
    1.87581761012906-1.57079632675     		φ = 0.30502128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56757289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.519531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30502128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.476432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1209 KachelY 923 0.56757289 0.30502128 32.519531 17.476432
    Oben rechts KachelX + 1 1210 KachelY 923 0.57064085 0.30502128 32.695312 17.476432
    Unten links KachelX 1209 KachelY + 1 924 0.56757289 0.30209359 32.519531 17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 1210 KachelY + 1 924 0.57064085 0.30209359 32.695312 17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30502128-0.30209359) × R
    0.00292768999999998 × 6371000     		dl = 18652.3129899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30502128-0.30209359) × R
    0.00292768999999998 × 6371000     		dr = 18652.3129899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56757289-0.57064085) × cos(0.30502128) × R
    0.00306795999999998 × 0.95384056211299 × 6371000     		do = 18643.7420259797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56757289-0.57064085) × cos(0.30209359) × R
    0.00306795999999998 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 18660.8474036927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30502128)-sin(0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95384056211299-0.954715697752077)×R²
    abs(0.57064085-0.56757289)×0.000875135639087476×R²
    0.00306795999999998×0.000875135639087476×6371000²
    0.00306795999999998×0.000875135639087476×40589641000000     		ar = 347908687.507356m²