Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120889 / 120039
↖ ↑ ↗
← S 81.611341°
E152.031555°		 ← 44.56 m → S 81.611341°
E152.034302°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
S 81.611741°
E152.031555°		 ← 44.56 m →
1 984 m²		 S 81.611741°
E152.034302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922313690185547 y=0.915828704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922313690185547 × 217)
    floor (0.922313690185547 × 131072)
    floor (120889.5)     		tx = 120889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915828704833984 × 217)
    floor (0.915828704833984 × 131072)
    floor (120039.5)     		ty = 120039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120889 / 120039 ti = "17/120889/120039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120889/120039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120889 ÷ 217
    120889 ÷ 131072     		x = 0.922309875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120039 ÷ 217
    120039 ÷ 131072     		y = 0.915824890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922309875488281 × 2 - 1) × π
    0.844619750976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.65345120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915824890136719 × 2 - 1) × π
    -0.831649780273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.61270483999192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65345120} λ = 2.65345120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61270483999192))-π/2
    2×atan(0.0733359133411545)-π/2
    2×0.0732048652947426-π/2
    0.146409730589485-1.57079632675     		φ = -1.42438660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65345120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.031555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42438660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.611341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120889 KachelY 120039 2.65345120 -1.42438660 152.031555 -81.611341
    Oben rechts KachelX + 1 120890 KachelY 120039 2.65349914 -1.42438660 152.034302 -81.611341
    Unten links KachelX 120889 KachelY + 1 120040 2.65345120 -1.42439359 152.031555 -81.611741
    Unten rechts KachelX + 1 120890 KachelY + 1 120040 2.65349914 -1.42439359 152.034302 -81.611741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42438660--1.42439359) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42438660--1.42439359) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65345120-2.65349914) × cos(-1.42438660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145887218660691 × 6371000     		do = 44.5577117159542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65345120-2.65349914) × cos(-1.42439359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145880303441545 × 6371000     		du = 44.5555996300291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42438660)-sin(-1.42439359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145887218660691-0.145880303441545)×R²
    abs(2.65349914-2.65345120)×6.91521914658599e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91521914658599e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91521914658599e-06×40589641000000     		ar = 1984.25446836622m²