Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120888 / 120024
↖ ↑ ↗
← S 81.605328°
E152.028809°		 ← 44.58 m → S 81.605328°
E152.031555°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.605729°
E152.028809°		 ← 44.58 m →
1 988 m²		 S 81.605729°
E152.031555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922306060791016 y=0.915714263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922306060791016 × 217)
    floor (0.922306060791016 × 131072)
    floor (120888.5)     		tx = 120888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915714263916016 × 217)
    floor (0.915714263916016 × 131072)
    floor (120024.5)     		ty = 120024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120888 / 120024 ti = "17/120888/120024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120888/120024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120888 ÷ 217
    120888 ÷ 131072     		x = 0.92230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120024 ÷ 217
    120024 ÷ 131072     		y = 0.91571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92230224609375 × 2 - 1) × π
    0.8446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65340327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.8314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61198578649762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65340327} λ = 2.65340327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61198578649762))-π/2
    2×atan(0.0733886647491695)-π/2
    2×0.073257334313153-π/2
    0.146514668626306-1.57079632675     		φ = -1.42428166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65340327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.028809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42428166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.605328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120888 KachelY 120024 2.65340327 -1.42428166 152.028809 -81.605328
    Oben rechts KachelX + 1 120889 KachelY 120024 2.65345120 -1.42428166 152.031555 -81.605328
    Unten links KachelX 120888 KachelY + 1 120025 2.65340327 -1.42428866 152.028809 -81.605729
    Unten rechts KachelX + 1 120889 KachelY + 1 120025 2.65345120 -1.42428866 152.031555 -81.605729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42428166--1.42428866) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dl = 44.5970000005751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42428166--1.42428866) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dr = 44.5970000005751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65340327-2.65345120) × cos(-1.42428166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145991035128067 × 6371000     		do = 44.5801188485352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65340327-2.65345120) × cos(-1.42428866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145984110123099 × 6371000     		du = 44.5780042149605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42428166)-sin(-1.42428866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145991035128067-0.145984110123099)×R²
    abs(2.65345120-2.65340327)×6.92500496782267e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.92500496782267e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.92500496782267e-06×40589641000000     		ar = 1988.09240702721m²