Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120886 / 120134
↖ ↑ ↗
← S 81.649320°
E152.023315°		 ← 44.36 m → S 81.649320°
E152.026062°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
S 81.649719°
E152.023315°		 ← 44.36 m →
1 967 m²		 S 81.649719°
E152.026062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922290802001953 y=0.916553497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922290802001953 × 217)
    floor (0.922290802001953 × 131072)
    floor (120886.5)     		tx = 120886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916553497314453 × 217)
    floor (0.916553497314453 × 131072)
    floor (120134.5)     		ty = 120134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120886 / 120134 ti = "17/120886/120134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120886/120134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120886 ÷ 217
    120886 ÷ 131072     		x = 0.922286987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120134 ÷ 217
    120134 ÷ 131072     		y = 0.916549682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922286987304688 × 2 - 1) × π
    0.844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65330739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916549682617188 × 2 - 1) × π
    -0.833099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61725884545583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65330739} λ = 2.65330739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61725884545583))-π/2
    2×atan(0.0730027004935367)-π/2
    2×0.072873426887661-π/2
    0.145746853775322-1.57079632675     		φ = -1.42504947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65330739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.023315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42504947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.649320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120886 KachelY 120134 2.65330739 -1.42504947 152.023315 -81.649320
    Oben rechts KachelX + 1 120887 KachelY 120134 2.65335533 -1.42504947 152.026062 -81.649320
    Unten links KachelX 120886 KachelY + 1 120135 2.65330739 -1.42505643 152.023315 -81.649719
    Unten rechts KachelX + 1 120887 KachelY + 1 120135 2.65335533 -1.42505643 152.026062 -81.649719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42504947--1.42505643) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42504947--1.42505643) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65330739-2.65335533) × cos(-1.42504947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145231408552633 × 6371000     		do = 44.3574104284012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65330739-2.65335533) × cos(-1.42505643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145224522341021 × 6371000     		du = 44.3553072021238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42504947)-sin(-1.42505643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145231408552633-0.145224522341021)×R²
    abs(2.65335533-2.65330739)×6.88621161218372e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88621161218372e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88621161218372e-06×40589641000000     		ar = 1966.85675936703m²