Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120872 / 120152
↖ ↑ ↗
← S 81.656497°
E151.984863°		 ← 44.31 m → S 81.656497°
E151.987610°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
S 81.656896°
E151.984863°		 ← 44.31 m →
1 965 m²		 S 81.656896°
E151.987610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922183990478516 y=0.916690826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922183990478516 × 217)
    floor (0.922183990478516 × 131072)
    floor (120872.5)     		tx = 120872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916690826416016 × 217)
    floor (0.916690826416016 × 131072)
    floor (120152.5)     		ty = 120152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120872 / 120152 ti = "17/120872/120152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120872/120152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120872 ÷ 217
    120872 ÷ 131072     		x = 0.92218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120152 ÷ 217
    120152 ÷ 131072     		y = 0.91668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92218017578125 × 2 - 1) × π
    0.8443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65263628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.8333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61812170964899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65263628} λ = 2.65263628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61812170964899))-π/2
    2×atan(0.0729397362459807)-π/2
    2×0.0728107961362695-π/2
    0.145621592272539-1.57079632675     		φ = -1.42517473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65263628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.984863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42517473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120872 KachelY 120152 2.65263628 -1.42517473 151.984863 -81.656497
    Oben rechts KachelX + 1 120873 KachelY 120152 2.65268421 -1.42517473 151.987610 -81.656497
    Unten links KachelX 120872 KachelY + 1 120153 2.65263628 -1.42518169 151.984863 -81.656896
    Unten rechts KachelX + 1 120873 KachelY + 1 120153 2.65268421 -1.42518169 151.987610 -81.656896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42517473--1.42518169) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42517473--1.42518169) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65263628-2.65268421) × cos(-1.42517473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145107475455861 × 6371000     		do = 44.3103132734041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65263628-2.65268421) × cos(-1.42518169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145100589117692 × 6371000     		du = 44.3082104472014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42517473)-sin(-1.42518169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145107475455861-0.145100589117692)×R²
    abs(2.65268421-2.65263628)×6.8863381695039e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.8863381695039e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.8863381695039e-06×40589641000000     		ar = 1964.76837887964m²