Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120864 / 29153
↖ ↑ ↗
← N 70.169269°
E151.962891°		 ← 103.61 m → N 70.169269°
E151.965637°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 70.168337°
E151.962891°		 ← 103.62 m →
10 740 m²		 N 70.168337°
E151.965637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922122955322266 y=0.222423553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922122955322266 × 217)
    floor (0.922122955322266 × 131072)
    floor (120864.5)     		tx = 120864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222423553466797 × 217)
    floor (0.222423553466797 × 131072)
    floor (29153.5)     		ty = 29153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120864 / 29153 ti = "17/120864/29153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120864/29153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120864 ÷ 217
    120864 ÷ 131072     		x = 0.922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29153 ÷ 217
    29153 ÷ 131072     		y = 0.222419738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922119140625 × 2 - 1) × π
    0.84423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65225278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222419738769531 × 2 - 1) × π
    0.555160522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7440882188765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65225278} λ = 2.65225278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7440882188765))-π/2
    2×atan(5.72068308591706)-π/2
    2×1.39774055182851-π/2
    2.79548110365702-1.57079632675     		φ = 1.22468478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65225278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22468478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.169269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120864 KachelY 29153 2.65225278 1.22468478 151.962891 70.169269
    Oben rechts KachelX + 1 120865 KachelY 29153 2.65230072 1.22468478 151.965637 70.169269
    Unten links KachelX 120864 KachelY + 1 29154 2.65225278 1.22466851 151.962891 70.168337
    Unten rechts KachelX + 1 120865 KachelY + 1 29154 2.65230072 1.22466851 151.965637 70.168337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22468478-1.22466851) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22468478-1.22466851) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65225278-2.65230072) × cos(1.22468478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339242517508376 × 6371000     		do = 103.613396949391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65225278-2.65230072) × cos(1.22466851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339257822635389 × 6371000     		du = 103.618071529135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22468478)-sin(1.22466851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339242517508376-0.339257822635389)×R²
    abs(2.65230072-2.65225278)×1.53051270129212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53051270129212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53051270129212e-05×40589641000000     		ar = 10740.4101631922m²