Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120853 / 120075
↖ ↑ ↗
← S 81.625753°
E151.932678°		 ← 44.47 m → S 81.625753°
E151.935425°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
S 81.626153°
E151.932678°		 ← 44.47 m →
1 978 m²		 S 81.626153°
E151.935425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922039031982422 y=0.916103363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922039031982422 × 217)
    floor (0.922039031982422 × 131072)
    floor (120853.5)     		tx = 120853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916103363037109 × 217)
    floor (0.916103363037109 × 131072)
    floor (120075.5)     		ty = 120075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120853 / 120075 ti = "17/120853/120075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120853/120075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120853 ÷ 217
    120853 ÷ 131072     		x = 0.922035217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120075 ÷ 217
    120075 ÷ 131072     		y = 0.916099548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922035217285156 × 2 - 1) × π
    0.844070434570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.65172548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916099548339844 × 2 - 1) × π
    -0.832199096679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.61443056837824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65172548} λ = 2.65172548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61443056837824))-π/2
    2×atan(0.0732094646132262)-π/2
    2×0.0730790918304891-π/2
    0.146158183660978-1.57079632675     		φ = -1.42463814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65172548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.932678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42463814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.625753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120853 KachelY 120075 2.65172548 -1.42463814 151.932678 -81.625753
    Oben rechts KachelX + 1 120854 KachelY 120075 2.65177341 -1.42463814 151.935425 -81.625753
    Unten links KachelX 120853 KachelY + 1 120076 2.65172548 -1.42464512 151.932678 -81.626153
    Unten rechts KachelX + 1 120854 KachelY + 1 120076 2.65177341 -1.42464512 151.935425 -81.626153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42463814--1.42464512) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42463814--1.42464512) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65172548-2.65177341) × cos(-1.42463814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145638365217146 × 6371000     		do = 44.4724268486163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65172548-2.65177341) × cos(-1.42464512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145631459635105 × 6371000     		du = 44.4703181460659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42463814)-sin(-1.42464512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145638365217146-0.145631459635105)×R²
    abs(2.65177341-2.65172548)×6.90558204102798e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.90558204102798e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.90558204102798e-06×40589641000000     		ar = 1977.62325715554m²