Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120852 / 120076
↖ ↑ ↗
← S 81.626153°
E151.929932°		 ← 44.48 m → S 81.626153°
E151.932678°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
S 81.626553°
E151.929932°		 ← 44.48 m →
1 981 m²		 S 81.626553°
E151.932678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922031402587891 y=0.916110992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922031402587891 × 217)
    floor (0.922031402587891 × 131072)
    floor (120852.5)     		tx = 120852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916110992431641 × 217)
    floor (0.916110992431641 × 131072)
    floor (120076.5)     		ty = 120076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120852 / 120076 ti = "17/120852/120076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120852/120076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120852 ÷ 217
    120852 ÷ 131072     		x = 0.922027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120076 ÷ 217
    120076 ÷ 131072     		y = 0.916107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922027587890625 × 2 - 1) × π
    0.84405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65167754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.83221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61447850527786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65167754} λ = 2.65167754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61447850527786))-π/2
    2×atan(0.0732059552625842)-π/2
    2×0.0730756011874903-π/2
    0.146151202374981-1.57079632675     		φ = -1.42464512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65167754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.929932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42464512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.626153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120852 KachelY 120076 2.65167754 -1.42464512 151.929932 -81.626153
    Oben rechts KachelX + 1 120853 KachelY 120076 2.65172548 -1.42464512 151.932678 -81.626153
    Unten links KachelX 120852 KachelY + 1 120077 2.65167754 -1.42465211 151.929932 -81.626553
    Unten rechts KachelX + 1 120853 KachelY + 1 120077 2.65172548 -1.42465211 151.932678 -81.626553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42464512--1.42465211) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42464512--1.42465211) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65167754-2.65172548) × cos(-1.42464512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145631459635105 × 6371000     		do = 44.4795963263029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65167754-2.65172548) × cos(-1.42465211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14562454415257 × 6371000     		du = 44.4774841599321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42464512)-sin(-1.42465211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145631459635105-0.14562454415257)×R²
    abs(2.65172548-2.65167754)×6.91548253545227e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91548253545227e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91548253545227e-06×40589641000000     		ar = 1980.77573129556m²