Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120817 / 120112
↖ ↑ ↗
← S 81.640540°
E151.833801°		 ← 44.39 m → S 81.640540°
E151.836548°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.640940°
E151.833801°		 ← 44.39 m →
1 971 m²		 S 81.640940°
E151.836548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921764373779297 y=0.916385650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921764373779297 × 217)
    floor (0.921764373779297 × 131072)
    floor (120817.5)     		tx = 120817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916385650634766 × 217)
    floor (0.916385650634766 × 131072)
    floor (120112.5)     		ty = 120112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120817 / 120112 ti = "17/120817/120112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120817/120112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120817 ÷ 217
    120817 ÷ 131072     		x = 0.921760559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120112 ÷ 217
    120112 ÷ 131072     		y = 0.9163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921760559082031 × 2 - 1) × π
    0.843521118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.64999975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61620423366418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64999975} λ = 2.64999975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61620423366418))-π/2
    2×atan(0.0730797306135959)-π/2
    2×0.0729500482313457-π/2
    0.145900096462691-1.57079632675     		φ = -1.42489623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64999975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.833801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42489623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.640540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120817 KachelY 120112 2.64999975 -1.42489623 151.833801 -81.640540
    Oben rechts KachelX + 1 120818 KachelY 120112 2.65004768 -1.42489623 151.836548 -81.640540
    Unten links KachelX 120817 KachelY + 1 120113 2.64999975 -1.42490320 151.833801 -81.640940
    Unten rechts KachelX + 1 120818 KachelY + 1 120113 2.65004768 -1.42490320 151.836548 -81.640940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42489623--1.42490320) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dl = 44.4058699989074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42489623--1.42490320) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dr = 44.4058699989074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64999975-2.65004768) × cos(-1.42489623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145383022152651 × 6371000     		do = 44.3944547720957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64999975-2.65004768) × cos(-1.42490320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145376126202248 × 6371000     		du = 44.3923490106819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42489623)-sin(-1.42490320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145383022152651-0.145376126202248)×R²
    abs(2.65004768-2.64999975)×6.89595040292978e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.89595040292978e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.89595040292978e-06×40589641000000     		ar = 1971.32763313137m²