Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120817 / 120109
↖ ↑ ↗
← S 81.639342°
E151.833801°		 ← 44.40 m → S 81.639342°
E151.836548°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.639742°
E151.833801°		 ← 44.40 m →
1 972 m²		 S 81.639742°
E151.836548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921764373779297 y=0.916362762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921764373779297 × 217)
    floor (0.921764373779297 × 131072)
    floor (120817.5)     		tx = 120817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916362762451172 × 217)
    floor (0.916362762451172 × 131072)
    floor (120109.5)     		ty = 120109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120817 / 120109 ti = "17/120817/120109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120817/120109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120817 ÷ 217
    120817 ÷ 131072     		x = 0.921760559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120109 ÷ 217
    120109 ÷ 131072     		y = 0.916358947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921760559082031 × 2 - 1) × π
    0.843521118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.64999975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916358947753906 × 2 - 1) × π
    -0.832717895507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.61606042296532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64999975} λ = 2.64999975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61606042296532))-π/2
    2×atan(0.073090241016464)-π/2
    2×0.0729605027920647-π/2
    0.145921005584129-1.57079632675     		φ = -1.42487532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64999975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.833801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42487532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.639342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120817 KachelY 120109 2.64999975 -1.42487532 151.833801 -81.639342
    Oben rechts KachelX + 1 120818 KachelY 120109 2.65004768 -1.42487532 151.836548 -81.639342
    Unten links KachelX 120817 KachelY + 1 120110 2.64999975 -1.42488229 151.833801 -81.639742
    Unten rechts KachelX + 1 120818 KachelY + 1 120110 2.65004768 -1.42488229 151.836548 -81.639742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42487532--1.42488229) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42487532--1.42488229) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64999975-2.65004768) × cos(-1.42487532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145403709961482 × 6371000     		do = 44.4007720433966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64999975-2.65004768) × cos(-1.42488229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145396814032269 × 6371000     		du = 44.3986662884532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42487532)-sin(-1.42488229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145403709961482-0.145396814032269)×R²
    abs(2.65004768-2.64999975)×6.89592921362947e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.89592921362947e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.89592921362947e-06×40589641000000     		ar = 1971.60815720261m²