Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120815 / 120108
↖ ↑ ↗
← S 81.638943°
E151.828308°		 ← 44.41 m → S 81.638943°
E151.831055°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.639342°
E151.828308°		 ← 44.41 m →
1 972 m²		 S 81.639342°
E151.831055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921749114990234 y=0.916355133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921749114990234 × 217)
    floor (0.921749114990234 × 131072)
    floor (120815.5)     		tx = 120815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916355133056641 × 217)
    floor (0.916355133056641 × 131072)
    floor (120108.5)     		ty = 120108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120815 / 120108 ti = "17/120815/120108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120815/120108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120815 ÷ 217
    120815 ÷ 131072     		x = 0.921745300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120108 ÷ 217
    120108 ÷ 131072     		y = 0.916351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921745300292969 × 2 - 1) × π
    0.843490600585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.64990387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.83270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6160124860657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64990387} λ = 2.64990387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6160124860657))-π/2
    2×atan(0.0730937448199908)-π/2
    2×0.0729639879762064-π/2
    0.145927975952413-1.57079632675     		φ = -1.42486835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64990387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.828308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42486835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.638943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120815 KachelY 120108 2.64990387 -1.42486835 151.828308 -81.638943
    Oben rechts KachelX + 1 120816 KachelY 120108 2.64995181 -1.42486835 151.831055 -81.638943
    Unten links KachelX 120815 KachelY + 1 120109 2.64990387 -1.42487532 151.828308 -81.639342
    Unten rechts KachelX + 1 120816 KachelY + 1 120109 2.64995181 -1.42487532 151.831055 -81.639342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42486835--1.42487532) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42486835--1.42487532) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64990387-2.64995181) × cos(-1.42486835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145410605883632 × 6371000     		do = 44.4121419058276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64990387-2.64995181) × cos(-1.42487532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145403709961482 × 6371000     		du = 44.410035713702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42486835)-sin(-1.42487532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145410605883632-0.145403709961482)×R²
    abs(2.64995181-2.64990387)×6.89592214977996e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89592214977996e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89592214977996e-06×40589641000000     		ar = 1972.11303624828m²