Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120813 / 120106
↖ ↑ ↗
← S 81.638144°
E151.822815°		 ← 44.42 m → S 81.638144°
E151.825562°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.638543°
E151.822815°		 ← 44.41 m →
1 972 m²		 S 81.638543°
E151.825562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921733856201172 y=0.916339874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921733856201172 × 217)
    floor (0.921733856201172 × 131072)
    floor (120813.5)     		tx = 120813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916339874267578 × 217)
    floor (0.916339874267578 × 131072)
    floor (120106.5)     		ty = 120106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120813 / 120106 ti = "17/120813/120106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120813/120106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120813 ÷ 217
    120813 ÷ 131072     		x = 0.921730041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120106 ÷ 217
    120106 ÷ 131072     		y = 0.916336059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921730041503906 × 2 - 1) × π
    0.843460083007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.64980800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916336059570312 × 2 - 1) × π
    -0.832672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61591661226646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64980800} λ = 2.64980800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61591661226646))-π/2
    2×atan(0.0731007529309492)-π/2
    2×0.0729709588403889-π/2
    0.145941917680778-1.57079632675     		φ = -1.42485441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64980800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.822815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42485441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.638144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120813 KachelY 120106 2.64980800 -1.42485441 151.822815 -81.638144
    Oben rechts KachelX + 1 120814 KachelY 120106 2.64985594 -1.42485441 151.825562 -81.638144
    Unten links KachelX 120813 KachelY + 1 120107 2.64980800 -1.42486138 151.822815 -81.638543
    Unten rechts KachelX + 1 120814 KachelY + 1 120107 2.64985594 -1.42486138 151.825562 -81.638543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42485441--1.42486138) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42485441--1.42486138) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64980800-2.64985594) × cos(-1.42485441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145424397706739 × 6371000     		do = 44.4163542836058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64980800-2.64985594) × cos(-1.42486138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145417501798718 × 6371000     		du = 44.4142480957955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42485441)-sin(-1.42486138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145424397706739-0.145417501798718)×R²
    abs(2.64985594-2.64980800)×6.89590802108175e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89590802108175e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89590802108175e-06×40589641000000     		ar = 1972.30009073825m²