Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12081 / 12704
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E 85.451660°		 ← 839.65 m → S 69.900118°
E 85.473633°		 →
↑
839.51 m
↓
↑
839.51 m
↓
S 69.907667°
E 85.451660°		 ← 839.35 m →
704 766 m²		 S 69.907667°
E 85.473633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737396240234375 y=0.775421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737396240234375 × 214)
    floor (0.737396240234375 × 16384)
    floor (12081.5)     		tx = 12081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775421142578125 × 214)
    floor (0.775421142578125 × 16384)
    floor (12704.5)     		ty = 12704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12081 / 12704 ti = "14/12081/12704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12081/12704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12081 ÷ 214
    12081 ÷ 16384     		x = 0.73736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12704 ÷ 214
    12704 ÷ 16384     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73736572265625 × 2 - 1) × π
    0.4747314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49141282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49141282} λ = 1.49141282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49141282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.451660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12081 KachelY 12704 1.49141282 -1.21998720 85.451660 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 12082 KachelY 12704 1.49179632 -1.21998720 85.473633 -69.900118
    Unten links KachelX 12081 KachelY + 1 12705 1.49141282 -1.22011897 85.451660 -69.907667
    Unten rechts KachelX + 1 12082 KachelY + 1 12705 1.49179632 -1.22011897 85.473633 -69.907667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22011897) × R
    0.000131769999999864 × 6371000     		dl = 839.506669999137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22011897) × R
    0.000131769999999864 × 6371000     		dr = 839.506669999137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49141282-1.49179632) × cos(-1.21998720) × R
    0.00038349999999987 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 839.651632881598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49141282-1.49179632) × cos(-1.22011897) × R
    0.00038349999999987 × 0.343534019233932 × 6371000     		du = 839.349283212569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22011897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343534019233932)×R²
    abs(1.49179632-1.49141282)×0.00012374752572375×R²
    0.00038349999999987×0.00012374752572375×6371000²
    0.00038349999999987×0.00012374752572375×40589641000000     		ar = 704766.23501731m²