Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120809 / 29167
↖ ↑ ↗
← N 70.156220°
E151.811828°		 ← 103.68 m → N 70.156220°
E151.814575°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 70.155288°
E151.811828°		 ← 103.68 m →
10 747 m²		 N 70.155288°
E151.814575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921703338623047 y=0.222530364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921703338623047 × 217)
    floor (0.921703338623047 × 131072)
    floor (120809.5)     		tx = 120809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222530364990234 × 217)
    floor (0.222530364990234 × 131072)
    floor (29167.5)     		ty = 29167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120809 / 29167 ti = "17/120809/29167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120809/29167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120809 ÷ 217
    120809 ÷ 131072     		x = 0.921699523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29167 ÷ 217
    29167 ÷ 131072     		y = 0.222526550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921699523925781 × 2 - 1) × π
    0.843399047851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.64961625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222526550292969 × 2 - 1) × π
    0.554946899414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.74341710228182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64961625} λ = 2.64961625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74341710228182))-π/2
    2×atan(5.71684512856767)-π/2
    2×1.39762668024609-π/2
    2.79525336049219-1.57079632675     		φ = 1.22445703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64961625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.811828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22445703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.156220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120809 KachelY 29167 2.64961625 1.22445703 151.811828 70.156220
    Oben rechts KachelX + 1 120810 KachelY 29167 2.64966419 1.22445703 151.814575 70.156220
    Unten links KachelX 120809 KachelY + 1 29168 2.64961625 1.22444076 151.811828 70.155288
    Unten rechts KachelX + 1 120810 KachelY + 1 29168 2.64966419 1.22444076 151.814575 70.155288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22445703-1.22444076) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22445703-1.22444076) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64961625-2.64966419) × cos(1.22445703) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.339456752894095 × 6371000     		do = 103.678829951569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64961625-2.64966419) × cos(1.22444076) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.339472056763622 × 6371000     		du = 103.683504147244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22445703)-sin(1.22444076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339456752894095-0.339472056763622)×R²
    abs(2.64966419-2.64961625)×1.53038695270835e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.53038695270835e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.53038695270835e-05×40589641000000     		ar = 10747.1926778606m²