Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120790 / 120118
↖ ↑ ↗
← S 81.642936°
E151.759643°		 ← 44.39 m → S 81.642936°
E151.762390°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.643335°
E151.759643°		 ← 44.39 m →
1 971 m²		 S 81.643335°
E151.762390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921558380126953 y=0.916431427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921558380126953 × 217)
    floor (0.921558380126953 × 131072)
    floor (120790.5)     		tx = 120790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916431427001953 × 217)
    floor (0.916431427001953 × 131072)
    floor (120118.5)     		ty = 120118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120790 / 120118 ti = "17/120790/120118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120790/120118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120790 ÷ 217
    120790 ÷ 131072     		x = 0.921554565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120118 ÷ 217
    120118 ÷ 131072     		y = 0.916427612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921554565429688 × 2 - 1) × π
    0.843109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64870545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916427612304688 × 2 - 1) × π
    -0.832855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6164918550619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64870545} λ = 2.64870545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6164918550619))-π/2
    2×atan(0.0730587143418414)-π/2
    2×0.072929143571895-π/2
    0.14585828714379-1.57079632675     		φ = -1.42493804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64870545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.759643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42493804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.642936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120790 KachelY 120118 2.64870545 -1.42493804 151.759643 -81.642936
    Oben rechts KachelX + 1 120791 KachelY 120118 2.64875339 -1.42493804 151.762390 -81.642936
    Unten links KachelX 120790 KachelY + 1 120119 2.64870545 -1.42494501 151.759643 -81.643335
    Unten rechts KachelX + 1 120791 KachelY + 1 120119 2.64875339 -1.42494501 151.762390 -81.643335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42493804--1.42494501) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42493804--1.42494501) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64870545-2.64875339) × cos(-1.42493804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145341656238117 × 6371000     		do = 44.3910829093235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64870545-2.64875339) × cos(-1.42494501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145334760245354 × 6371000     		du = 44.3889766956308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42493804)-sin(-1.42494501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145341656238117-0.145334760245354)×R²
    abs(2.64875339-2.64870545)×6.89599276301744e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89599276301744e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89599276301744e-06×40589641000000     		ar = 1971.17789255507m²