Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120776 / 120125
↖ ↑ ↗
← S 81.645730°
E151.721192°		 ← 44.37 m → S 81.645730°
E151.723938°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
S 81.646129°
E151.721192°		 ← 44.36 m →
1 970 m²		 S 81.646129°
E151.723938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921451568603516 y=0.916484832763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921451568603516 × 217)
    floor (0.921451568603516 × 131072)
    floor (120776.5)     		tx = 120776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916484832763672 × 217)
    floor (0.916484832763672 × 131072)
    floor (120125.5)     		ty = 120125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120776 / 120125 ti = "17/120776/120125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120776/120125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120776 ÷ 217
    120776 ÷ 131072     		x = 0.92144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120125 ÷ 217
    120125 ÷ 131072     		y = 0.916481018066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92144775390625 × 2 - 1) × π
    0.8428955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.64803434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916481018066406 × 2 - 1) × π
    -0.832962036132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.61682741335925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64803434} λ = 2.64803434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61682741335925))-π/2
    2×atan(0.0730342029967735)-π/2
    2×0.0729047623199497-π/2
    0.145809524639899-1.57079632675     		φ = -1.42498680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64803434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.721192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42498680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.645730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120776 KachelY 120125 2.64803434 -1.42498680 151.721192 -81.645730
    Oben rechts KachelX + 1 120777 KachelY 120125 2.64808227 -1.42498680 151.723938 -81.645730
    Unten links KachelX 120776 KachelY + 1 120126 2.64803434 -1.42499377 151.721192 -81.646129
    Unten rechts KachelX + 1 120777 KachelY + 1 120126 2.64808227 -1.42499377 151.723938 -81.646129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42498680--1.42499377) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dl = 44.4058699989074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42498680--1.42499377) × R
    6.9699999998285e-06 × 6371000     		dr = 44.4058699989074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64803434-2.64808227) × cos(-1.42498680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145293413822176 × 6371000     		do = 44.3670917903969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64803434-2.64808227) × cos(-1.42499377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145286517780027 × 6371000     		du = 44.3649860009674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42498680)-sin(-1.42499377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145293413822176-0.145286517780027)×R²
    abs(2.64808227-2.64803434)×6.89604214881845e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.89604214881845e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.89604214881845e-06×40589641000000     		ar = 1970.11255547737m²