Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120775 / 120124
↖ ↑ ↗
← S 81.645331°
E151.718445°		 ← 44.38 m → S 81.645331°
E151.721192°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
S 81.645730°
E151.718445°		 ← 44.38 m →
1 968 m²		 S 81.645730°
E151.721192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921443939208984 y=0.916477203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921443939208984 × 217)
    floor (0.921443939208984 × 131072)
    floor (120775.5)     		tx = 120775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916477203369141 × 217)
    floor (0.916477203369141 × 131072)
    floor (120124.5)     		ty = 120124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120775 / 120124 ti = "17/120775/120124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120775/120124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120775 ÷ 217
    120775 ÷ 131072     		x = 0.921440124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120124 ÷ 217
    120124 ÷ 131072     		y = 0.916473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921440124511719 × 2 - 1) × π
    0.842880249023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.64798640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.83294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61677947645963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64798640} λ = 2.64798640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61677947645963))-π/2
    2×atan(0.0730377041139471)-π/2
    2×0.0729082448603802-π/2
    0.14581648972076-1.57079632675     		φ = -1.42497984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64798640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.718445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42497984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.645331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120775 KachelY 120124 2.64798640 -1.42497984 151.718445 -81.645331
    Oben rechts KachelX + 1 120776 KachelY 120124 2.64803434 -1.42497984 151.721192 -81.645331
    Unten links KachelX 120775 KachelY + 1 120125 2.64798640 -1.42498680 151.718445 -81.645730
    Unten rechts KachelX + 1 120776 KachelY + 1 120125 2.64803434 -1.42498680 151.721192 -81.645730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42497984--1.42498680) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42497984--1.42498680) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64798640-2.64803434) × cos(-1.42497984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145300299963391 × 6371000     		do = 44.3784516385115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64798640-2.64803434) × cos(-1.42498680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145293413822176 × 6371000     		du = 44.3763484337353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42497984)-sin(-1.42498680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145300299963391-0.145293413822176)×R²
    abs(2.64803434-2.64798640)×6.88614121463482e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88614121463482e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88614121463482e-06×40589641000000     		ar = 1967.78977274228m²