Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120774 / 120126
↖ ↑ ↗
← S 81.646129°
E151.715698°		 ← 44.37 m → S 81.646129°
E151.718445°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
S 81.646528°
E151.715698°		 ← 44.37 m →
1 968 m²		 S 81.646528°
E151.718445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921436309814453 y=0.916492462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921436309814453 × 217)
    floor (0.921436309814453 × 131072)
    floor (120774.5)     		tx = 120774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916492462158203 × 217)
    floor (0.916492462158203 × 131072)
    floor (120126.5)     		ty = 120126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120774 / 120126 ti = "17/120774/120126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120774/120126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120774 ÷ 217
    120774 ÷ 131072     		x = 0.921432495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120126 ÷ 217
    120126 ÷ 131072     		y = 0.916488647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921432495117188 × 2 - 1) × π
    0.842864990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64793846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916488647460938 × 2 - 1) × π
    -0.832977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61687535025887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64793846} λ = 2.64793846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61687535025887))-π/2
    2×atan(0.0730307020474286)-π/2
    2×0.0729012799446861-π/2
    0.145802559889372-1.57079632675     		φ = -1.42499377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64793846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.715698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42499377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.646129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120774 KachelY 120126 2.64793846 -1.42499377 151.715698 -81.646129
    Oben rechts KachelX + 1 120775 KachelY 120126 2.64798640 -1.42499377 151.718445 -81.646129
    Unten links KachelX 120774 KachelY + 1 120127 2.64793846 -1.42500073 151.715698 -81.646528
    Unten rechts KachelX + 1 120775 KachelY + 1 120127 2.64798640 -1.42500073 151.718445 -81.646528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42499377--1.42500073) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42499377--1.42500073) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64793846-2.64798640) × cos(-1.42499377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145286517780027 × 6371000     		do = 44.3742422049589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64793846-2.64798640) × cos(-1.42500073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145279631624726 × 6371000     		du = 44.3721389958804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42499377)-sin(-1.42500073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145286517780027-0.145279631624726)×R²
    abs(2.64798640-2.64793846)×6.88615530089476e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88615530089476e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88615530089476e-06×40589641000000     		ar = 1967.60311748439m²