Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120768 / 120128
↖ ↑ ↗
← S 81.646927°
E151.699219°		 ← 44.37 m → S 81.646927°
E151.701966°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
S 81.647326°
E151.699219°		 ← 44.37 m →
1 967 m²		 S 81.647326°
E151.701966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921390533447266 y=0.916507720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921390533447266 × 217)
    floor (0.921390533447266 × 131072)
    floor (120768.5)     		tx = 120768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916507720947266 × 217)
    floor (0.916507720947266 × 131072)
    floor (120128.5)     		ty = 120128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120768 / 120128 ti = "17/120768/120128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120768/120128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120768 ÷ 217
    120768 ÷ 131072     		x = 0.92138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120128 ÷ 217
    120128 ÷ 131072     		y = 0.91650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92138671875 × 2 - 1) × π
    0.8427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64765084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    -0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64765084} λ = 2.64765084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61697122405811))-π/2
    2×atan(0.0730237006521927)-π/2
    2×0.0728943156896284-π/2
    0.145788631379257-1.57079632675     		φ = -1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64765084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.699219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120768 KachelY 120128 2.64765084 -1.42500770 151.699219 -81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 120769 KachelY 120128 2.64769878 -1.42500770 151.701966 -81.646927
    Unten links KachelX 120768 KachelY + 1 120129 2.64765084 -1.42501466 151.699219 -81.647326
    Unten rechts KachelX + 1 120769 KachelY + 1 120129 2.64769878 -1.42501466 151.701966 -81.647326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42500770--1.42501466) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42500770--1.42501466) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64765084-2.64769878) × cos(-1.42500770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 44.3700327627957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64765084-2.64769878) × cos(-1.42501466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145265849399086 × 6371000     		du = 44.3679295494153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42500770)-sin(-1.42501466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145265849399086)×R²
    abs(2.64769878-2.64765084)×6.88616938560038e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88616938560038e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88616938560038e-06×40589641000000     		ar = 1967.4164615784m²