Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12071 / 20759
↖ ↑ ↗
← S 43.253205°
W 47.384033°		 ← 889.76 m → S 43.253205°
W 47.373047°		 →
↑
889.71 m
↓
↑
889.71 m
↓
S 43.261206°
W 47.384033°		 ← 889.64 m →
791 576 m²		 S 43.261206°
W 47.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368392944335938 y=0.633529663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368392944335938 × 215)
    floor (0.368392944335938 × 32768)
    floor (12071.5)     		tx = 12071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633529663085938 × 215)
    floor (0.633529663085938 × 32768)
    floor (20759.5)     		ty = 20759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12071 / 20759 ti = "15/12071/20759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12071/20759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12071 ÷ 215
    12071 ÷ 32768     		x = 0.368377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20759 ÷ 215
    20759 ÷ 32768     		y = 0.633514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.26324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82700739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.26702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.838895743350983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82700739} λ = -0.82700739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838895743350983))-π/2
    2×atan(0.43218750595212)-π/2
    2×0.40794274420543-π/2
    0.81588548841086-1.57079632675     		φ = -0.75491084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82700739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.384033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75491084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.253205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12071 KachelY 20759 -0.82700739 -0.75491084 -47.384033 -43.253205
    Oben rechts KachelX + 1 12072 KachelY 20759 -0.82681564 -0.75491084 -47.373047 -43.253205
    Unten links KachelX 12071 KachelY + 1 20760 -0.82700739 -0.75505049 -47.384033 -43.261206
    Unten rechts KachelX + 1 12072 KachelY + 1 20760 -0.82681564 -0.75505049 -47.373047 -43.261206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75491084--0.75505049) × R
    0.000139650000000047 × 6371000     		dl = 889.710150000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75491084--0.75505049) × R
    0.000139650000000047 × 6371000     		dr = 889.710150000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82700739--0.82681564) × cos(-0.75491084) × R
    0.000191750000000046 × 0.728332640625605 × 6371000     		do = 889.759740844597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82700739--0.82681564) × cos(-0.75505049) × R
    0.000191750000000046 × 0.728236942029552 × 6371000     		du = 889.642831683489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75491084)-sin(-0.75505049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728332640625605-0.728236942029552)×R²
    abs(-0.82681564--0.82700739)×9.56985960525181e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56985960525181e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56985960525181e-05×40589641000000     		ar = 791576.266143374m²