Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12070 / 20762
↖ ↑ ↗
← S 43.277205°
W 47.395020°		 ← 889.41 m → S 43.277205°
W 47.384033°		 →
↑
889.39 m
↓
↑
889.39 m
↓
S 43.285204°
W 47.395020°		 ← 889.29 m →
790 981 m²		 S 43.285204°
W 47.384033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368362426757812 y=0.633621215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368362426757812 × 215)
    floor (0.368362426757812 × 32768)
    floor (12070.5)     		tx = 12070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633621215820312 × 215)
    floor (0.633621215820312 × 32768)
    floor (20762.5)     		ty = 20762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12070 / 20762 ti = "15/12070/20762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12070/20762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12070 ÷ 215
    12070 ÷ 32768     		x = 0.36834716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20762 ÷ 215
    20762 ÷ 32768     		y = 0.63360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36834716796875 × 2 - 1) × π
    -0.2633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82719914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82719914} λ = -0.82719914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839470986146423))-π/2
    2×atan(0.431938964695678)-π/2
    2×0.407733301439877-π/2
    0.815466602879754-1.57079632675     		φ = -0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82719914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.395020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12070 KachelY 20762 -0.82719914 -0.75532972 -47.395020 -43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 12071 KachelY 20762 -0.82700739 -0.75532972 -47.384033 -43.277205
    Unten links KachelX 12070 KachelY + 1 20763 -0.82719914 -0.75546932 -47.395020 -43.285204
    Unten rechts KachelX + 1 12071 KachelY + 1 20763 -0.82700739 -0.75546932 -47.384033 -43.285204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75532972--0.75546932) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dl = 889.391600000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75532972--0.75546932) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dr = 889.391600000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82719914--0.82700739) × cos(-0.75532972) × R
    0.000191750000000046 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 889.409019936605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82719914--0.82700739) × cos(-0.75546932) × R
    0.000191750000000046 × 0.727949843311517 × 6371000     		du = 889.292100620912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75532972)-sin(-0.75546932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.727949843311517)×R²
    abs(-0.82700739--0.82719914)×9.57069083138418e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57069083138418e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57069083138418e-05×40589641000000     		ar = 790980.919052279m²