Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120664 / 28984
↖ ↑ ↗
← N 70.326138°
E151.413574°		 ← 102.83 m → N 70.326138°
E151.416321°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
N 70.325213°
E151.413574°		 ← 102.83 m →
10 574 m²		 N 70.325213°
E151.416321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.920597076416016 y=0.221134185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.920597076416016 × 217)
    floor (0.920597076416016 × 131072)
    floor (120664.5)     		tx = 120664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221134185791016 × 217)
    floor (0.221134185791016 × 131072)
    floor (28984.5)     		ty = 28984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120664 / 28984 ti = "17/120664/28984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120664/28984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120664 ÷ 217
    120664 ÷ 131072     		x = 0.92059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28984 ÷ 217
    28984 ÷ 131072     		y = 0.22113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92059326171875 × 2 - 1) × π
    0.8411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64266540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22113037109375 × 2 - 1) × π
    0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64266540} λ = 2.64266540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75218955491229))-π/2
    2×atan(5.76721649885278)-π/2
    2×1.39910948604306-π/2
    2.79821897208611-1.57079632675     		φ = 1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64266540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120664 KachelY 28984 2.64266540 1.22742265 151.413574 70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 120665 KachelY 28984 2.64271334 1.22742265 151.416321 70.326138
    Unten links KachelX 120664 KachelY + 1 28985 2.64266540 1.22740651 151.413574 70.325213
    Unten rechts KachelX + 1 120665 KachelY + 1 28985 2.64271334 1.22740651 151.416321 70.325213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22742265-1.22740651) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22742265-1.22740651) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64266540-2.64271334) × cos(1.22742265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 102.826382107305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64266540-2.64271334) × cos(1.22740651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336680935594586 × 6371000     		du = 102.831023897801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22742265)-sin(1.22740651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336680935594586)×R²
    abs(2.64271334-2.64266540)×1.51977711391194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51977711391194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51977711391194e-05×40589641000000     		ar = 10573.6637028846m²