Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12061 / 15110
↖ ↑ ↗
← N 13.859414°
W 47.493897°		 ← 1 186.07 m → N 13.859414°
W 47.482910°		 →
↑
1 186.03 m
↓
↑
1 186.03 m
↓
N 13.848747°
W 47.493897°		 ← 1 186.13 m →
1 406 745 m²		 N 13.848747°
W 47.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368087768554688 y=0.461135864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368087768554688 × 215)
    floor (0.368087768554688 × 32768)
    floor (12061.5)     		tx = 12061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461135864257812 × 215)
    floor (0.461135864257812 × 32768)
    floor (15110.5)     		ty = 15110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12061 / 15110 ti = "15/12061/15110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12061/15110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12061 ÷ 215
    12061 ÷ 32768     		x = 0.368072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15110 ÷ 215
    15110 ÷ 32768     		y = 0.46112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.26385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82892487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46112060546875 × 2 - 1) × π
    0.0777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.244286440463806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82892487} λ = -0.82892487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244286440463806))-π/2
    2×atan(1.27670997951729)-π/2
    2×0.906344365600013-π/2
    1.81268873120003-1.57079632675     		φ = 0.24189240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82892487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.493897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24189240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.859414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12061 KachelY 15110 -0.82892487 0.24189240 -47.493897 13.859414
    Oben rechts KachelX + 1 12062 KachelY 15110 -0.82873312 0.24189240 -47.482910 13.859414
    Unten links KachelX 12061 KachelY + 1 15111 -0.82892487 0.24170624 -47.493897 13.848747
    Unten rechts KachelX + 1 12062 KachelY + 1 15111 -0.82873312 0.24170624 -47.482910 13.848747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24189240-0.24170624) × R
    0.000186160000000019 × 6371000     		dl = 1186.02536000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24189240-0.24170624) × R
    0.000186160000000019 × 6371000     		dr = 1186.02536000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82892487--0.82873312) × cos(0.24189240) × R
    0.000191750000000046 × 0.970886407403807 × 6371000     		do = 1186.07294257627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82892487--0.82873312) × cos(0.24170624) × R
    0.000191750000000046 × 0.97093098341361 × 6371000     		du = 1186.12739837945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24189240)-sin(0.24170624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970886407403807-0.97093098341361)×R²
    abs(-0.82873312--0.82892487)×4.4576009802566e-05×R²
    0.000191750000000046×4.4576009802566e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.4576009802566e-05×40589641000000     		ar = 1406744.88574968m²