Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120606 / 29407
↖ ↑ ↗
← N 69.931242°
E151.254272°		 ← 104.81 m → N 69.931242°
E151.257019°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.930300°
E151.254272°		 ← 104.81 m →
10 978 m²		 N 69.930300°
E151.257019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.920154571533203 y=0.224361419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.920154571533203 × 217)
    floor (0.920154571533203 × 131072)
    floor (120606.5)     		tx = 120606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224361419677734 × 217)
    floor (0.224361419677734 × 131072)
    floor (29407.5)     		ty = 29407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120606 / 29407 ti = "17/120606/29407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120606/29407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120606 ÷ 217
    120606 ÷ 131072     		x = 0.920150756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29407 ÷ 217
    29407 ÷ 131072     		y = 0.224357604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.920150756835938 × 2 - 1) × π
    0.840301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63988506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224357604980469 × 2 - 1) × π
    0.551284790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.73191224637301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63988506} λ = 2.63988506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73191224637301))-π/2
    2×atan(5.65145054803358)-π/2
    2×1.39566338078047-π/2
    2.79132676156094-1.57079632675     		φ = 1.22053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63988506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.254272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.931242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120606 KachelY 29407 2.63988506 1.22053043 151.254272 69.931242
    Oben rechts KachelX + 1 120607 KachelY 29407 2.63993300 1.22053043 151.257019 69.931242
    Unten links KachelX 120606 KachelY + 1 29408 2.63988506 1.22051399 151.254272 69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 120607 KachelY + 1 29408 2.63993300 1.22051399 151.257019 69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22053043-1.22051399) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22053043-1.22051399) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63988506-2.63993300) × cos(1.22053043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343147571524441 × 6371000     		do = 104.806100961986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63988506-2.63993300) × cos(1.22051399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343163013265997 × 6371000     		du = 104.810817267328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22053043)-sin(1.22051399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343147571524441-0.343163013265997)×R²
    abs(2.63993300-2.63988506)×1.54417415567099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54417415567099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54417415567099e-05×40589641000000     		ar = 10977.5583534373m²