Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1206 / 899
↖ ↑ ↗
← N 21.453069°
E 31.992188°		 ← 18.192 km → N 21.453069°
E 32.167969°		 →
↑
18.202 km
↓
↑
18.202 km
↓
N 21.289374°
E 31.992188°		 ← 18.212 km →
331.311 km²		 N 21.289374°
E 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589111328125 y=0.439208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589111328125 × 211)
    floor (0.589111328125 × 2048)
    floor (1206.5)     		tx = 1206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439208984375 × 211)
    floor (0.439208984375 × 2048)
    floor (899.5)     		ty = 899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1206 / 899 ti = "11/1206/899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1206/899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1206 ÷ 211
    1206 ÷ 2048     		x = 0.5888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 899 ÷ 211
    899 ÷ 2048     		y = 0.43896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5888671875 × 2 - 1) × π
    0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    0.1220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55836901} λ = 0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383495196960449))-π/2
    2×atan(1.46740450442995)-π/2
    2×0.972611504544189-π/2
    1.94522300908838-1.57079632675     		φ = 0.37442668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37442668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.453069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1206 KachelY 899 0.55836901 0.37442668 31.992188 21.453069
    Oben rechts KachelX + 1 1207 KachelY 899 0.56143697 0.37442668 32.167969 21.453069
    Unten links KachelX 1206 KachelY + 1 900 0.55836901 0.37156968 31.992188 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 1207 KachelY + 1 900 0.56143697 0.37156968 32.167969 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37442668-0.37156968) × R
    0.002857 × 6371000     		dl = 18201.947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37442668-0.37156968) × R
    0.002857 × 6371000     		dr = 18201.947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55836901-0.56143697) × cos(0.37442668) × R
    0.00306795999999998 × 0.930717460340206 × 6371000     		do = 18191.7784993529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55836901-0.56143697) × cos(0.37156968) × R
    0.00306795999999998 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 18212.128132748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37442668)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930717460340206-0.931758576749633)×R²
    abs(0.56143697-0.55836901)×0.00104111640942661×R²
    0.00306795999999998×0.00104111640942661×6371000²
    0.00306795999999998×0.00104111640942661×40589641000000     		ar = 331311214.914497m²