Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120586 / 29462
↖ ↑ ↗
← N 69.879342°
E151.199341°		 ← 105.07 m → N 69.879342°
E151.202087°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.878397°
E151.199341°		 ← 105.07 m →
11 045 m²		 N 69.878397°
E151.202087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.920001983642578 y=0.224781036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.920001983642578 × 217)
    floor (0.920001983642578 × 131072)
    floor (120586.5)     		tx = 120586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224781036376953 × 217)
    floor (0.224781036376953 × 131072)
    floor (29462.5)     		ty = 29462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120586 / 29462 ti = "17/120586/29462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120586/29462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120586 ÷ 217
    120586 ÷ 131072     		x = 0.919998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29462 ÷ 217
    29462 ÷ 131072     		y = 0.224777221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919998168945312 × 2 - 1) × π
    0.839996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63892632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224777221679688 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72927571689391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63892632} λ = 2.63892632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72927571689391))-π/2
    2×atan(5.63656995724208)-π/2
    2×1.39521046092047-π/2
    2.79042092184094-1.57079632675     		φ = 1.21962460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63892632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.199341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21962460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.879342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120586 KachelY 29462 2.63892632 1.21962460 151.199341 69.879342
    Oben rechts KachelX + 1 120587 KachelY 29462 2.63897426 1.21962460 151.202087 69.879342
    Unten links KachelX 120586 KachelY + 1 29463 2.63892632 1.21960810 151.199341 69.878397
    Unten rechts KachelX + 1 120587 KachelY + 1 29463 2.63897426 1.21960810 151.202087 69.878397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21962460-1.21960810) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dl = 105.121499999133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21962460-1.21960810) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dr = 105.121499999133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63892632-2.63897426) × cos(1.21962460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343998259991963 × 6371000     		do = 105.065923116689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63892632-2.63897426) × cos(1.21960810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344013752954847 × 6371000     		du = 105.070655066342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21962460)-sin(1.21960810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343998259991963-0.344013752954847)×R²
    abs(2.63897426-2.63892632)×1.54929628837785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54929628837785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54929628837785e-05×40589641000000     		ar = 11044.9361520134m²